Derivata n-sima
Dovrei calcolare la derivata di ordine 27 della funzione $f(x)=x/(1+x^2)$ per $x=0$
Ho provato a ricondurre la funzione a qualche sviluppo noto magari ad una serie geometrica dato che se non fosse per quell'$x$ al numeratore si potrebbe ricondurre il tutto alla serie geometrica. Purtroppo non ci sono riuscito o magari non è proprio la strada giusta da seguire per risolvere l'esercizio. Ho provato poi a derivare ma anche la derivata prima non mi pare riconducibile a nulla. Supponiamo successivamente che riesca a trovare lo serie di Taylor della funzione data, il passo successivo quale sarebbe? Trovato la serie basta poi prendere il termine 27 e calcolarlo in $x=0$?
Ho provato a ricondurre la funzione a qualche sviluppo noto magari ad una serie geometrica dato che se non fosse per quell'$x$ al numeratore si potrebbe ricondurre il tutto alla serie geometrica. Purtroppo non ci sono riuscito o magari non è proprio la strada giusta da seguire per risolvere l'esercizio. Ho provato poi a derivare ma anche la derivata prima non mi pare riconducibile a nulla. Supponiamo successivamente che riesca a trovare lo serie di Taylor della funzione data, il passo successivo quale sarebbe? Trovato la serie basta poi prendere il termine 27 e calcolarlo in $x=0$?
Risposte
$f(x) = x \cdot \frac{1}{1+x^2}$, ed esprimi il secondo fattore (in un opportuno intervallo...) usando la serie geometrica.
Poi dovresti sapere che se $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, allora c'è una relazione che lega i coefficienti $a_n$ alle derivate $f^{(n)}(0)$...
Poi dovresti sapere che se $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, allora c'è una relazione che lega i coefficienti $a_n$ alle derivate $f^{(n)}(0)$...
allora facendo un pò i conti si ha: $f(x)=sum_(n=0)^(+infty) (-1)^n x^(2n+1)$ con $x$ appartenente all'intervallo di convergenza $]-1,1[$.adesso ci ragiono un pò per proseguire
allora secondo la relazione: $f^(n)(x_0)=n!a_n$ per ogni $n in NN$
quindi la derivata di ordine 27 in $0$ è a $f^(27)(0)=27!*(-1)^27$. Esatto?
quindi la derivata di ordine 27 in $0$ è a $f^(27)(0)=27!*(-1)^27$. Esatto?
La potenza di $x$ deve essere 27, e corrisponde, nelle tue notazioni, a $n=13$.
Hai infatti $a_{2n} = 0$ e $a_{2n+1} = (-1)^n$ per ogni $n\in NN$.
In questo caso il risultato non cambia, visto che $(-1)^{13} = (-1)^{27}$.
Hai infatti $a_{2n} = 0$ e $a_{2n+1} = (-1)^n$ per ogni $n\in NN$.
In questo caso il risultato non cambia, visto che $(-1)^{13} = (-1)^{27}$.
"Rigel":
La potenza di $x$ deve essere 27, e corrisponde, nelle tue notazioni, a $n=13$.
Hai infatti $a_{2n} = 0$ e $a_{2n+1} = (-1)^n$ per ogni $n\in NN$.
In questo caso il risultato non cambia, visto che $(-1)^{13} = (-1)^{27}$.
non capisco come sei arrivato a dire che corrisponde dalle mie notazioni ad $n=13$. Ci sei arrivato facendo i calcoli una per una?
Ci sono arrivato da $2n+1=27$.
"Rigel":
Ci sono arrivato da $2n+1=27$.
esatto.non ci avevo pensato!giustissimo.quindi il risultato che avevo scritto io è giusto?
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