Derivata (n-1)esima e derivata n-esima
salve a tutti, volevo un brevissima spiegazione di un concetto banale che però a me sfugge.
come fa una funzione di classe Cn (continua con derivate continue fino a quella n-esima) ad avere derivate uguali a zero fino a quella (n-1)esima ma avere quella n-esima diversa da zero? Se avete una funzione che abbia questa caratteristica potete postarmela come esempio?
(nn serve che si arrivi alla derivata n-esima, che ne so derivata uguale a zero fino alla seconda e derivata terza diversa da zero, tanto per capire)
vi ringrazio per la pazienza.
ciao!
p.s. non ho controllato il forum per eventuali topic simili, non avendo tempo, i moderatori mi scuseranno....
come fa una funzione di classe Cn (continua con derivate continue fino a quella n-esima) ad avere derivate uguali a zero fino a quella (n-1)esima ma avere quella n-esima diversa da zero? Se avete una funzione che abbia questa caratteristica potete postarmela come esempio?
(nn serve che si arrivi alla derivata n-esima, che ne so derivata uguale a zero fino alla seconda e derivata terza diversa da zero, tanto per capire)
vi ringrazio per la pazienza.
ciao!
p.s. non ho controllato il forum per eventuali topic simili, non avendo tempo, i moderatori mi scuseranno....
Risposte
Visto che parli di derivata suppongo che ci muoviamo in $RR^1$.
Tu parli per un punto specifico? Oppure parli di funzione derivata? Perchè altrimenti mi sa che non è possibile!
Cioè, essendo $f^{\(n\)}(x) = d(f^{\(n-1\)}(x))$, ed essendo $f^{\(n-1\)}(x) = 0$, DEVE risultare $f^{\(n\)}(x) = 0!$
E non può essere altrimenti perchè 0 è una costante e la drivata di una costante è 0.
La situazione cambia se ci riferiamo ad uno specifico punto.
Tu parli per un punto specifico? Oppure parli di funzione derivata? Perchè altrimenti mi sa che non è possibile!
Cioè, essendo $f^{\(n\)}(x) = d(f^{\(n-1\)}(x))$, ed essendo $f^{\(n-1\)}(x) = 0$, DEVE risultare $f^{\(n\)}(x) = 0!$
E non può essere altrimenti perchè 0 è una costante e la drivata di una costante è 0.
La situazione cambia se ci riferiamo ad uno specifico punto.
mh, forse sto iniziando a capire il problema, nel senso che io ragiono allo stesso modo sia che si tratti di funzione derivata sia che si tgratti di derivata in un punto. mettiamo che stiamo considerando la derivata in un punto.
è proprio questo il mio problema, in un punto cosa cambia? che vado a considerare il rapporto incrementale?
Cioè, essendo f(n)(x)=d(f(n-1)(x)), ed essendo f(n-1)(x)=0, DEVE risultare f(n)(x)=0!
E non può essere altrimenti perchè 0 è una costante e la drivata di una costante è 0.
è proprio questo il mio problema, in un punto cosa cambia? che vado a considerare il rapporto incrementale?
Un esempio banale.
$f(x) = x^5$ le sue derivate sono:
$f'(x) = 5x^4$
$f''(x) = 20x^3$
$f'''(x) = 60x^2$
$f^(iv)(x) = 120x$
$f^(v)(x) = 120$
Nell'origine, in particolare, allora tu avrai che:
$f'(0) = 5\cdot0^4 = 0$
$f''(0) = 20\cdot0^3 = 0$
$f'''(0) = 60\cdot0^2 = 0$
$f^(iv)(0) = 120\cdot 0 = 0$
$f^(v)(0) = 120$
Allora anche se le tue prime 4 derivate sono nulle, la tua derivata quinta è $!=0$.
$f(x) = x^5$ le sue derivate sono:
$f'(x) = 5x^4$
$f''(x) = 20x^3$
$f'''(x) = 60x^2$
$f^(iv)(x) = 120x$
$f^(v)(x) = 120$
Nell'origine, in particolare, allora tu avrai che:
$f'(0) = 5\cdot0^4 = 0$
$f''(0) = 20\cdot0^3 = 0$
$f'''(0) = 60\cdot0^2 = 0$
$f^(iv)(0) = 120\cdot 0 = 0$
$f^(v)(0) = 120$
Allora anche se le tue prime 4 derivate sono nulle, la tua derivata quinta è $!=0$.
ossignore sono una capra! mi rendo conto che è una cosa ovvia, ti ringrazio!
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