Derivata lungo curva

[danzichenecco]

Ciao, ho bisogno di una mano per capire una notazione che non capisco proprio.

Il professore scrive per la derivata direzionale:

$(partialf)/(partialvecv)=df(v)=d/(dt)(f∘alpha)$ dove $dotalpha(t)=v$ questa cosa mi smebra tornarmi perché la prima è la formula del gradiente, la seconda dice che per composizione di funzioni e formula del gradiente è vera quella catena di =.

Problema, però poi va a scrivere quando segue (data alpha curva al solito):
$ddotalpha(s)=d/(ds)dotalpha(s)$

Io l'avevo interpretata come:

$ddotalpha(s)=(partialdotalpha)/(partialv)$ ove $v=dotalpha$, ma poi non funzionerebbe perché dovrebbe per forza essere$d/(ds)(dotalpha∘alpha)$ perché se $v=dotalpha$ nella composizione devo meterci la funzione g tale che $(dg)/(ds)=dotalpha$ e quella funzione è $g=alpha$

poi ho pensato $d/(ds)(dotalpha∘id(s))$ pero' facendo come sopra per f non torna in quanto $id'(s)=1$ e sembra giustificare $d/(ds)(dotalpha)$ ma poi non quadra con $dotalpha(id'(s))$

Non capisco quindi come far quadrare i conti.