Derivata integrale dipendente da un parametro...

[edomar1]

Salve a tutti ragazzi, non riesco proprio a risolvere questo esercizio!
Calcolare la derivata della seguente funzione:
$f(x)=\int_cos(x)^(1+x^2)e^(-t)/(1+xt)dt$
Posto $a(x)=cos(x)$, $b(x)=1+x^2$ e $F(x,t)=e^(-t)/(1+xt)$, la formula di calcolo delle derivate di funzioni come questa è la seguente:
$f'(x)=\int_(a(x))^(b(x))F_{x}(x,t)dt-F(x,a(x))a'(x)+F(x,b(x))b'(x)$
Calcolando la derivata parziale prima di $F(x,t)$ rispetto a $x$, si trova:
$F_{x}(x,t)=(-t*e^(-t))/(1+xt)^2$
Adesso dovrei risolvere:
$\int(-t*e^(-t))/(1+xt)^2dt$
E qui mi blocco... Ho provato a mettere in evidenza $e^(-t)$ e a scomporre $t/(1+xt)^2$ con la regola di integrazione di funzioni fratte... Facendo così però trovo altri due integrali che non riesco a risolvere in nessun modo.. Qualche idea?

[ciampax]

Io non lo scomporrei: proverei direttamente a farlo per parti. Credo ti venga fuori una cosa ciclica, in cui due integrali si annullano. (Però non ho fatto i conti: ho ragionato ad occhio).

[edomar1]

Sarò idiota io, ma continua a non venirmi...

[ciampax]

Non sei idiota: a riguardarlo, mi sa che non ne esci fuori, almeno provandoci un po' mi rimane sempre un integrale che non puoi calcolare esplicitamente.

[edomar1]

Hai idea di come si possa svolgere, alternativamente? Io dopo svariati tentativi (cambiando un paio di variabili e applicando il metodo di risoluzione per parti più volte) sono arrivato a:
$...+ \intln(|1-xlnp|)dp$ che non riesco comunque a risolvere!

[ciampax]

Mi sa che non si svolge: mi pare che venga fuori, comunque, un integrale esponenziale, cioè questa funzione qui:

$Ei(x)=\int_0^x\frac{e^t}{t}\ dt$

(ovviamente con le dovute sostituzioni) e si sa che tale funzione non si può esprimere con una funzione elementare. Comunque provo a pensarci un po' su e a vedere se in realtà non ci sia qualche modo per farlo.