Derivata integrale definito e calcolo M e m
Buonasera,nella verifica di analisi il prof l altra volta ha messo un integrale definito come per esempio
Integrale da x^3 a 2 della funzione x^2+3x+t^4. Da questo integrale dovevamo trovare la derivata prima e poi il massimo e minimo. Ora che ho guardato un po come fare su internet ho capito che bisogna usare il teorema fondamentale del calcolo integrale, quindi pongo x^3=y. Ora non so piú andare avanti, immagino bisogni sostituire y a t...x^2+3x+y^4.da qui trovo la derivata prima di x^3 (negli esercizi ho visto che faceva cosi,non so perche) e la moltiplico per tutto f(y) quindi F'(X)=3x^2(x^2+3x+x^12). Va bene questo procedimento???
Grazie a tutti!
Integrale da x^3 a 2 della funzione x^2+3x+t^4. Da questo integrale dovevamo trovare la derivata prima e poi il massimo e minimo. Ora che ho guardato un po come fare su internet ho capito che bisogna usare il teorema fondamentale del calcolo integrale, quindi pongo x^3=y. Ora non so piú andare avanti, immagino bisogni sostituire y a t...x^2+3x+y^4.da qui trovo la derivata prima di x^3 (negli esercizi ho visto che faceva cosi,non so perche) e la moltiplico per tutto f(y) quindi F'(X)=3x^2(x^2+3x+x^12). Va bene questo procedimento???
Grazie a tutti!
Risposte
Ciao, 6x6Casadei.
Potresti, cortesemente, riproporre il problema inserendo correttamente le [formule][/formule]?
Vorrei essere sicuro di comprendere tutto bene.
Grazie.
Saluti.
Potresti, cortesemente, riproporre il problema inserendo correttamente le [formule][/formule]?
Vorrei essere sicuro di comprendere tutto bene.
Grazie.
Saluti.
Ciao, o si scusa cerco di metterle meglio ora.
$\int_2^(x^3) x^2+3x+t^4 $ (prima avevo pure sbagliato a scriverlo a parole)
Da qui pongo $x^3=y$
Poi sostituisco y a t e diventa $ x^2+3x+y^4 $
Ora negli esercizi che ho visto di questo genere fa la derivata prima di $x^3$ e la moltiplica per $f(x)$ quindi
$ F'(X)=3x^2(x^2+3x+x^12) $
Io ho pensato di svolgerlo cosí ma non sono sicuro sia fatto bene
$\int_2^(x^3) x^2+3x+t^4 $ (prima avevo pure sbagliato a scriverlo a parole)
Da qui pongo $x^3=y$
Poi sostituisco y a t e diventa $ x^2+3x+y^4 $
Ora negli esercizi che ho visto di questo genere fa la derivata prima di $x^3$ e la moltiplica per $f(x)$ quindi
$ F'(X)=3x^2(x^2+3x+x^12) $
Io ho pensato di svolgerlo cosí ma non sono sicuro sia fatto bene
Ciao.
Vediamo se ho capito la questione e se riesco a risolvere il problema.
La funzione assegnata sarebbe
$f(x)=int_2^(x^3) (x^2+3x+t^4)*dt$
Indicando con $F(t)$ una primitiva di $x^2+3x+t^4$ (quindi deve valere: $F'(t)=x^2+3x+t^4$), per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:
$f(x)=F(x^3)-F(2) Rightarrow f'(x)=d/(dx)[F(x^3)-F(2)]=F'(x^3)*3x^2-0=(x^2+3x+(x^3)^4)*3x^2$
Quindi
$f'(x)=(x^2+3x+x^12)*3x^2$
Spero di aver interpretato correttamente il problema.
Saluti.
Vediamo se ho capito la questione e se riesco a risolvere il problema.
La funzione assegnata sarebbe
$f(x)=int_2^(x^3) (x^2+3x+t^4)*dt$
Indicando con $F(t)$ una primitiva di $x^2+3x+t^4$ (quindi deve valere: $F'(t)=x^2+3x+t^4$), per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:
$f(x)=F(x^3)-F(2) Rightarrow f'(x)=d/(dx)[F(x^3)-F(2)]=F'(x^3)*3x^2-0=(x^2+3x+(x^3)^4)*3x^2$
Quindi
$f'(x)=(x^2+3x+x^12)*3x^2$
Spero di aver interpretato correttamente il problema.
Saluti.
Ok, grazie mille 
, ora ho capito per trovare $ f'(x) $ bisogna applicare la formula per gli integrali definiti senza svilupparla subito e poi derivarne i membri. Poi si sostituisce $x^3$ a $t$ e il gioco è fatto. Invece per trovare m e M bisogna studiare normalmente il segno della derivata prima sopra trovata?
, ora ho capito per trovare $ f'(x) $ bisogna applicare la formula per gli integrali definiti senza svilupparla subito e poi derivarne i membri. Poi si sostituisce $x^3$ a $t$ e il gioco è fatto. Invece per trovare m e M bisogna studiare normalmente il segno della derivata prima sopra trovata?
"6x6Casadei":
...Poi si sostituisce $x^3$ a $t$ e il gioco è fatto.
Attenzione, però, al teorema di derivazione della funzione composta: ciò spiega perchè compare il fattore $3x^2$ accanto a $F'(x^3)$.
"6x6Casadei":
Invece per trovare m e M bisogna studiare normalmente il segno della derivata prima sopra trovata?
No.
Come di consueto, cerchi i punti stazionari ponendo la derivata prima uguale a zero, dopodichè, per distinguere i massimi dai minimi o studi il segno della derivata prima nelle vicinanze dei valori di ascissa dei punti stazionari, oppure calcoli la derivata seconda negli stessi valori di ascissa dei punti stazionari.
Saluti.
Io di solito per trovare max e min faccio cosi ,per esempio prendo la funzione $ x^2-4=0 $ la pongo maggiore di 0 e trovo $ x>2 v x<-2 $, faccio il grafichino e vedo che $ m=-2 v M=2 $. Si fa in questo modo??? Gli estremi dell integrale servono a quacosa oppure bisogna considerare esclusivamente la derivata prima???
Richiedendo che la derivata prima di una funzione sia positiva, trovi tutti gli intervalli lungo i quali la funzione stessa risulta essere crescente.
Gli estremi dell'integrale contano, perchè la derivata prima dipende da quegli estremi; basta osservare il risultato dell'esercizio proposto.
Saluti.
Gli estremi dell'integrale contano, perchè la derivata prima dipende da quegli estremi; basta osservare il risultato dell'esercizio proposto.
Saluti.
Ok credo finalmente di aver capito, grazie mille Alessandro!
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
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