Derivata in uno spazio topologico
Ciao. Il concetto di limite è un concetto puramente topologico, infatti una delle possibili definizioni non fa uso del concetto di distanza e quindi di metrica. E' possibile definire anche la derivata in modo simile? Mi spiego meglio: le derivate sono possibili solo in spazi metrici?
Grazie per il chiarimento. GC
Grazie per il chiarimento. GC
Risposte
A quanto ne so di derivate si può parlare in tantissimi spazi diversi, ma non nel generale "spazio metrico": occorre avere una struttura di varietà differenziabile o di spazio vettoriale normato.
"dissonance":
A quanto ne so di derivate si può parlare in tantissimi spazi diversi, ma non nel generale "spazio metrico": occorre avere una struttura di varietà differenziabile o di spazio vettoriale normato.
La derivata la puoi definire anche in uno spazio vettoriale topologico [tex]$V$[/tex] qualsiasi.
Infatti basta porre*:
[tex]$\frac{\partial F}{\partial u} (x) :=\lim_{h\to 0} \frac{F(x+h\ u)-F(x)}{h}$[/tex]
e questa si chiama derivata di Gâteaux di [tex]$F$[/tex] in [tex]$x$[/tex] secondo la direzione di [tex]$u$[/tex].
La struttura vettoriale è necessaria perchè, per definire una derivata sensata, devi sapere in che direzione vuoi spostarti per calcolare l'incremento della funzione [tex]$F$[/tex] (in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] la direzione è unica, ma già se ti metti in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] hai un'infinità continua di direzioni lungo le quali puoi calcolare le derivate... Di qui la necessità di introdurre la derivata direzionale).
Cosa diversa se vuoi definire il differenziale.
In tal caso la struttura più generale in cui puoi farlo è quella di spazio vettoriale metrico [tex]$(V,d)$[/tex]. Ciò si fa dicendo che una funzione [tex]$F$[/tex] è differenziabile in [tex]$x$[/tex] se e solo se esiste un'applicazione lineare continua [tex]$L_x:V\to \mathbb{R}$[/tex] che gode di questa proprietà:
[tex]$F(y)=F(x)+L_x (x-y) +\text{o}(d(x,y))$[/tex] o equivalentemente [tex]$\lim_{y\to x} \frac{|F(y)-F(x)-L_x(x-y)|}{d(x,y)} =0$[/tex]
(ossia intorno a [tex]$x$[/tex] la funzione affine [tex]$F(x)+L_x(x-y)$[/tex] approssima bene il valore di [tex]$F(y)$[/tex]); in tal caso si pone per definizione:
[tex]$\text{d} F(x; u):=L_x(u)$[/tex]
e l'applicazione [tex]$u\mapsto \text{d} F(x; u)$[/tex] (lineare in [tex]$u$[/tex]) si chiama differenziale di Fréchet di [tex]$F$[/tex] in [tex]$x$[/tex].
La struttura di spazio vettoriale metrico è necessaria per due motivi: 1 il differenziale ha da essere un'applicazione lineare (perchè serve proprio a questo scopo, altrimenti è inutile) e 2 ti serve la distanza per quantificare quanto è grande (o piccola) la differenza tra [tex]$F(y)$[/tex] e l'approssimazione affine [tex]$F(x)+\text{d} F(x; x-y)$[/tex].
Tuttavia sullo spazio [tex]$V$[/tex] si fanno sempre delle ipotesi più forti; ad esempio si chiede che esso sia localmente convesso, nel caso della derivata di Gâteaux, o che sia localmente convesso e la metrica sia invariante per traslazioni, nel caso del differenziale di Fréchet.
Non so però se queste siano ipotesi trascurabili o necessarie alla buona positura delle definizioni...
__________
* Qui, per semplificare, [tex]$F$[/tex] è un'applicazione a valori reali; va da se che basta fare piccoli aggiustamenti per ottenere considerazioni più generali, ad esempio per funzioni a valori in spazi vettoriali metrici o normati qualsiasi.
Quindi, giusto per fare una precisazione, correggimi Gugo se sbaglio, il differenziale di Fréchet è un qualcosa di molto più forte rispetto al differenziale di Gâteaux, perchè il primo coincide col dire che tutte le derivate direzionali devono essere contenute nel (iper)-piano tangente.
In generale derivata di Gâteaux e differenziale di Fréchet sono concetti diversi, perchè la prima si può calcolare in una classe più ampia di spazi.
Supponiamo però di metterci in uno spazio vettoriale normato (cosicché si possono calcolare sia derivata che differenziale): in tal caso tra derivata di Gâteaux e differenziale di Fréchet passa la stessa differenza che passa tra derivate direzionali e differenziale per una funzione di due variabili reali.
In altri termini, la differenziabilità alla Fréchet implica l'esistenza della derivata alla Gâteaux secondo ogni direzione; ma il viceversa non è vero (ed il controesempio è semplice: prendi [tex]$V=\mathbb{R}^2$[/tex] ed usi uno dei controesempi classici su esistenza di tutte le derivate direzionali e non differenziabilità... Infatti il differenziale di Fréchet in un numero finito di variabili coincide con il differenziale classico e lo stesso vale per le derivate direzionali di Gâteaux).
Quindi si può ben dire che la differenziabilità alla Fréchet è molto più forte della derivabilità alla Gâteaux.
Supponiamo però di metterci in uno spazio vettoriale normato (cosicché si possono calcolare sia derivata che differenziale): in tal caso tra derivata di Gâteaux e differenziale di Fréchet passa la stessa differenza che passa tra derivate direzionali e differenziale per una funzione di due variabili reali.
In altri termini, la differenziabilità alla Fréchet implica l'esistenza della derivata alla Gâteaux secondo ogni direzione; ma il viceversa non è vero (ed il controesempio è semplice: prendi [tex]$V=\mathbb{R}^2$[/tex] ed usi uno dei controesempi classici su esistenza di tutte le derivate direzionali e non differenziabilità... Infatti il differenziale di Fréchet in un numero finito di variabili coincide con il differenziale classico e lo stesso vale per le derivate direzionali di Gâteaux).
Quindi si può ben dire che la differenziabilità alla Fréchet è molto più forte della derivabilità alla Gâteaux.
Ok grazie 
HO letto in un manuale di geometria differenziale che le connessioni sarebbero una generalizzazione del concetto di derivata.E' così? E in che termini? GC
Sì, dovrebbe essere così... Però su questi argomenti avanzati di Geometria Differenziale non sono molto ferrato, quindi non ti so dire alcunché di interessante.
Grazie mille e a presto.
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