Derivata in un punto, limite in quel punto

[Domodossola1]

Salve a tutti mi sono trovato davanti questo teorema, che ora vi presenterò, ma non ho la dimostrazione e mi servirebbe:

Sia $f$ una funzione reale definita in un intorno U del punto $x_0$ e derivabile in ogni punto x diverso da $x_0$. Si supponga inoltre che sia $lim_{x\tox_0}f'(x)=l$ Allora esiste la derivata di f nel punto $x_0$ ed è $f'(x_0)=l$
So che nella dimostrazione bisogna usare de l'hopital ma non capisco come..

[ZeroMemory]

è necessaria anche la continuità di $f$ in $x_0$ , un controesempio è $f(x) = 0$ per $x!=0$ e $f(0)=1$

[ZeroMemory]

prova a scrivere il limite del rapporto incrementale in $x_0$. Tale limite è della forma $0/0$ (il numeratore tende a 0 perché $f$ è continua in $x_0$), quindi è una forma di indeterminazione per cui si applica L'Hopital. Prova ad andare avanti tu...se non ti riesce scrivi i tuoi dubbi.

[aizarg1]

Devi applicare il Teorema di Lagrange all'intervallo \( [x_0,x]\)

[Domodossola1]

allora vediamo..io voglio dimostrare che $f'(x_0)=l$ ma questo vuol dire che $lim_{x\tox_0}{f(x)-f(x_0)}/{x-x_0}$ deve essere uguale ad $l$. Per $x\tox_0$ il limite ha però la forma indetermina $0/0$ quindi applico il teorema di l'Hopital prendendo $f(x)=f(x)-f(x_0)$ e $g(x)={x-x_0}$. Quindi $lim_{x\tox_0}{f(x)-f(x_0)}/{x-x_0} = lim_{x\tox_0}{f'(x)-0}/{1-0} =lim_{x\tox_0}{f'(x)}$ cosi?

[Palliit]

Io direi di sì. Nelle ipotesi c'è che [tex]\lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)=l[/tex] ...

[Domodossola1]

grazie