Derivata funzione vs Derivabilità in un punto

[DearUsers]

Buongiorno a tutti,
innanzitutto buone feste a tutti! Mi potete spiegare le differenze sostanziali tra derivata di una funzione e derivabilità in un punto.
Ad esempio, prendiamo in considerazione un esercizio dove si richiede di vedere se il punto x è derivabile nella funzione y, allora cosa faccio? Come da notte dei tempi faccio il limite del rapporto incrementale e vedo se esiste o meno tale limite, poi traggo le mie conclusioni.
Ma perchè in molti casi non si può fare la sostituzione direttamente del punto x richiesto nella derivata della funzione y?
Le derivate delle funzione elementari e la relativa algebra delle derivate non sono state appunto costruite attraverso il limite del rapporto incrementale della generica funzione?
Grazie in anticipo a coloro che mi risponderanno.

[axpgn]

Una funzione si dice derivabile se per ogni punto del dominio esiste la derivata (determinata attraverso il limite del rapporto incrementale); da ciò è possibile costruire una nuova funzione che assume in ogni punto il valore della derivata ed è appunto la funzione "derivata" da quella principale.

Spero di essere stato chiaro ...

Cordialmente, Alex

[billyballo2123]

"DearUsers":
Ad esempio, prendiamo in considerazione un esercizio dove si richiede di vedere se il punto x è derivabile nella funzione y, allora cosa faccio? Come da notte dei tempi faccio il limite del rapporto incrementale e vedo se esiste o meno tale limite, poi traggo le mie conclusioni.

In questo modo il risultato è SEMPRE GIUSTO! Però è un tantino scomodo farlo tutte le volte

"DearUsers":
Le derivate delle funzione elementari e la relativa algebra delle derivate non sono state appunto costruite attraverso il limite del rapporto incrementale della generica funzione?

Sì!

"DearUsers":
Ma perchè in molti casi non si può fare la sostituzione direttamente del punto x richiesto nella derivata della funzione y?

Dipende dai casi: Ad esempio quando si definisce una funzione "a pezzi", come $f(x)=0$ se $x<0$ e $f(x)=\sin x$ per $x\geq 0$, anche se la funzione è continua, non si può concludere che la funzione sia derivabile in $0$ e che la sua derivata valga $1$ (che è la derivata del seno calcolata in $0$).
Un altro caso è quando ad esempio la funzione è derivabile in ogni punto ma la derivata non è continua. Ad esempio la funzione $f(x)=x^2\sin (1/x)$ per $x\ne 0$ e $f(0)=0$. Questa è continua e derivabile su tutto $\mathbb{R}$, ma la derivata è discontinua in $0$, e bisogna calcolarlo manualmente il limite del rapporto incrementale (in $0$).

[DearUsers]

1) se ho una funzione non ha tratti, continua su R e derivabile su tutto R, per calcolare il valore della derivata nel punto x, mi basta sostituire il valore della x nella derivata della funzione. Giusto?
2) se ho una funzione ha tratti, continua e derivabile su R, derivata non discontinua, posso attuare in questo caso la sostituzione invece di calcolarmi il rapporto incrementale?
3a). nel'esempio che mi hai citato sopra $x^2*sin(1/x) etc$ devo calcolare il limite del rapporto incrementale perchè la derivata è discontinua?
3.b) hai dedotto che la derivata è discontinua perchè la derivata della funzione, ovvero $2x*sin(1/x)-cos(1/x)$ il limite di questa derivata non esiste? Poi se prendo in considerazione una generica derivata di una funzione a tratti, per vedere che la derivata è continua o meno devo prendere in considerazione il limite destro e sinitro e vedere se tendono allo stesso valore, poi confrontarlo con la derivata di f(xo)?

[billyballo2123]

"DearUsers":1) se ho una funzione non ha tratti, continua su R e derivabile su tutto R, per calcolare il valore della derivata nel punto x, mi basta sostituire il valore della x nella derivata della funzione. Giusto?
2) se ho una funzione ha tratti, continua e derivabile su R, derivata non discontinua, posso attuare in questo caso la sostituzione invece di calcolarmi il rapporto incrementale?

Se tu hai calcolato la derivata in ogni punto (cioè hai calcolato la funzione derivata), allora puoi sempre sostituire il valore della $x$ anziché calcolarti il rapporto incrementale.

"DearUsers":
3a). nell'esempio che mi hai citato sopra $x^2*sin(1/x) etc$ devo calcolare il limite del rapporto incrementale perché la derivata è discontinua?

Devi calcolare il rapporto incrementale perché la derivata in $0$ non ha nulla a che fare con la derivata negli altri punti in cui la funzione è definita in un altro modo. Una funzione definita a tratti non è una funzione di quelle note di cui si conosce la derivata. Può essere definita a pezzi mediante funzioni note, ma nel complesso non lo è, quindi nei punti in cui cambia la definizione bisogna controllare manualmente.

"DearUsers":
3.b) hai dedotto che la derivata è discontinua perché la derivata della funzione, ovvero $2x*sin(1/x)-cos(1/x)$ il limite di questa derivata non esiste?

Sì

"DearUsers":
Poi se prendo in considerazione una generica derivata di una funzione a tratti, per vedere che la derivata è continua o meno devo prendere in considerazione il limite destro e sinistro e vedere se tendono allo stesso valore, poi confrontarlo con la derivata di f(xo)?

Sì, in altre parole se vuoi essere sicuro che la derivata sia continua, calcoli la derivata e poi controlli che sia continua come se fosse una qualunque funzione, cioè il fatto che sia la derivata di un'altra funzione non ti interessa.

[gugo82]

Alla precedente risposta di billyballo2123 aggiungo che il rapporto incrementale va usato anche in casi in cui, pur non essendo la funzione definita per casi, non si è ben sicuri di ciò che accade... Ad esempio, con la funzione \(f(x):=\arcsin (\sin x)\) (definita e continua in tutto \(\mathbb{R}\)) in \(x_0=\frac{\pi}{2}\).