Derivata funzione vettoriale
ciao a tutti
Se ho una funzione del tipo $F=(a^(')(v_(1)-v_(2))^2)/(a^(')Sa)$
dove $a$ è un vettore colonna (e con l'apice intendo il vettore trasposto) , $v_(1)$ e $v_(2)$ sono due vettori (quindi forse dovrei scrivere $(v_(1)-v_(2))(v_(1)-v_(2))^(')$ in luogo di $(v_(1)-v_(2))^2$ ma sul testo è riportato così..), ed $S$ è una matrice simmetrica, se voglio derivare la $F$ rispetto ad $a$ e porre tale derivata uguale al vettore nullo, a me viene (riporto solo il risultato finale senza i passaggi ):
$(\partial F )/ (\partial a)=(v_(1)-v_(2))^2-\lambda a S =0$
dove $\lambda=(a^(')(v_(1)-v_(2))^2)/(a^(')Sa)$ cioè la funzione di partenza che è pari ad una costante ($\lambda$ appunto) nel punto di massimo.
Che mi dite ho scritto una boiata?
Grazie per ogni suggerimento !!
Se ho una funzione del tipo $F=(a^(')(v_(1)-v_(2))^2)/(a^(')Sa)$
dove $a$ è un vettore colonna (e con l'apice intendo il vettore trasposto) , $v_(1)$ e $v_(2)$ sono due vettori (quindi forse dovrei scrivere $(v_(1)-v_(2))(v_(1)-v_(2))^(')$ in luogo di $(v_(1)-v_(2))^2$ ma sul testo è riportato così..), ed $S$ è una matrice simmetrica, se voglio derivare la $F$ rispetto ad $a$ e porre tale derivata uguale al vettore nullo, a me viene (riporto solo il risultato finale senza i passaggi ):
$(\partial F )/ (\partial a)=(v_(1)-v_(2))^2-\lambda a S =0$
dove $\lambda=(a^(')(v_(1)-v_(2))^2)/(a^(')Sa)$ cioè la funzione di partenza che è pari ad una costante ($\lambda$ appunto) nel punto di massimo.
Che mi dite ho scritto una boiata?
Grazie per ogni suggerimento !!
Risposte
"in_me_i_trust":
... forse dovrei scrivere $(v_(1)-v_(2))(v_(1)-v_(2))^(')$ in luogo di $(v_(1)-v_(2))^2$ ma sul testo è riportato così..
Non per metterti in difficoltà, ma possibile che questo testo sia stato così impreciso?
Ho ricontrollato e in effetti sono proprio stupido il libro dice quanto segue:
bla bla..the sample mean vectors $v_(1)$ and $v_(2)$..bla bla..This linear combination he found, by maximizing $({a^(')(v_(1)-v_(2))}^(2))/(a^(')Sa)$.
ora l'espressione è corretta e questo procedimento serve per trovare l'$a$ tale che si massimizzi la funzione detta sopra, il risultato è:
$a=(v_(1)-v_(2))^(')S^(-1)$
il primo passaggio dovrebbe essere questo:
$(\partial F)/(\partial a)=(2(a^(')(v_(1)-v_(2)))a^(')Sa-(a^(')(v_(1)-v_(2)))^(2) 2Sa)/((a^(')Sa)(a^(')Sa)^('))=0$
e arrivo alla fine a:
$(S^(-1)(v_(1)-v_(2))^(') -\lambda I)a=0$
dove con $\lambda$ intendo sempre la funzione $({a^(')(v_(1)-v_(2))}^(2))/(a^(')Sa)$ che nel suo punto di massimo è un valore costante. Dovrebbe tornare ora..
Grazie come al solito bisogna prima dubitare di se stessi e poi del testo..
bla bla..the sample mean vectors $v_(1)$ and $v_(2)$..bla bla..This linear combination he found, by maximizing $({a^(')(v_(1)-v_(2))}^(2))/(a^(')Sa)$.
ora l'espressione è corretta e questo procedimento serve per trovare l'$a$ tale che si massimizzi la funzione detta sopra, il risultato è:
$a=(v_(1)-v_(2))^(')S^(-1)$
il primo passaggio dovrebbe essere questo:
$(\partial F)/(\partial a)=(2(a^(')(v_(1)-v_(2)))a^(')Sa-(a^(')(v_(1)-v_(2)))^(2) 2Sa)/((a^(')Sa)(a^(')Sa)^('))=0$
e arrivo alla fine a:
$(S^(-1)(v_(1)-v_(2))^(') -\lambda I)a=0$
dove con $\lambda$ intendo sempre la funzione $({a^(')(v_(1)-v_(2))}^(2))/(a^(')Sa)$ che nel suo punto di massimo è un valore costante. Dovrebbe tornare ora..
Grazie come al solito bisogna prima dubitare di se stessi e poi del testo..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo