Derivata funzione inversa

[Jarren]

Salve a tutti,
avrei bisogno del vostro aiuto per svolgere un punto di questo esercizio...

Data la seguente funzione:

$ f(x)=logx+e^(x^2) $ con $ x_0=e$

Trovare:
1) Dominio e Immagine;
2) Dimostrare che è invertibile e che l'inversa $f^-1$ è derivabile;
3) Calcolare $(f^-1)'(x_0)$;
4) Scrivere l'equazione della retta tangente al frafico di $f^-1$ nel punto $(x_0;f^-1(x_0)$;

1) Calcolo il dominio ponendo l'argomento del logaritmo >0,quindi $x>0$ ,segue che il dominio è:

$ D={AA _x\in\mathbb{R}:x>0} $ scritto con gli intervalli $ ]0;+oo [ $

Per calcolare l'immagine calcolo i limiti agli estremi

$ lim_(x -> 0^+) logx+e^(x^2)=-oo $

$ lim_(x ->+oo ) logx+e^(x^2)=+oo $

Quindi l'immagine è l'insime dei numeri reali; $ Im={x\in\mathbb{R}} $

2) Procedo a calcolare la derivata prima

$ f'(x)=1/x+e^(x^2)\cdot2x $

Dalla derivata prima noto che $f'(x)>0, AAx>0$,questo mi dice che la funzione è crescente,quindi iniettiva e siccome l'immagine è tutto l'insieme dei numeri reali è anche suriettiva,di conseguenza la funzione è derivabile in $mathbb{R}$ come la sua inversa.

3) Questo è il punto in cui mi blocco,poteste aiutarmi a chiarire questo punto?
Premetto che ho studiato il teorema sulla derivata della funzione inversa,però non riesco ad applicarlo

Il punto 4 vorrei prima provare a farlo da solo,quindi non è necessario che rispondiate a quel punto.

Grazie.

[IlPolloDiGödel]

Applica la formuletta $(f^(-1))' (e) = 1/(f'(e))$ ed hai fatto il punto 3

[Jarren]

Grazie per la risposta,anch'io avevo provato in questo modo,però non mi risulta.

$ (f^(-1))' (e) = 1/(f'(e))= 1/(1/e+e^(e^2)*2e)$

Il mio libro svolge questi passaggi,ma non riesco a comprendere il perchè...

$ f(1)=e $

$ f^-1(e)=1 $

$ (f^(-1))'(e)=1=1/(f'(1))=1/(1+2e) $

Qualcuno mi potrebbe aiutare a chiarire questo dubbio?
Grazie mille