Derivata funzione implicita
Salve, sono alle prese con il seguente esercizio:
data la funzione \(\displaystyle f(x,y)=2xe^{xy}+\sqrt{ex}(xy-3) \) verificare che definisce implicitamente un'unica funzione del tipo \(\displaystyle y=g(x) \), \(\displaystyle f(x,y)=2xe^{xy}+\sqrt{ex}(xy-3) \), \(\displaystyle g\in C^{1}(0,+\infty ) \). Disegnarne un grafico qualitativo.
Applicando il teorema del Dini e ragionando su \(\displaystyle f \) sono riuscito a studiare il grafico di \(\displaystyle g \) eccetto la derivata prima. Vale però \(\displaystyle g'(x)=-\frac{\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial x}}{\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial y}} \). Attraverso un po' di calcoli si può ottenere che il segno di \(\displaystyle g' \) è il segno dell'espressione \(\displaystyle 1-2xg(x) \). Allora \(\displaystyle g'(x)=0 \) se \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{2x} \). Per definizione di funzione implicita \(\displaystyle f(x,g(x))=0 \). Quindi studio per quali \(\displaystyle x \) si annula la derivata prima di \(\displaystyle g \) risolvendo l'equazione \(\displaystyle f\left ( x,\frac{1}{2x} \right )=0 \). Dopodichè dovrei studiare dove \(\displaystyle g'(x)>0 \), ovvero dove \(\displaystyle g(x)<\frac{1}{2x} \). Come posso procedere?
Grazie mille in anticipo!
data la funzione \(\displaystyle f(x,y)=2xe^{xy}+\sqrt{ex}(xy-3) \) verificare che definisce implicitamente un'unica funzione del tipo \(\displaystyle y=g(x) \), \(\displaystyle f(x,y)=2xe^{xy}+\sqrt{ex}(xy-3) \), \(\displaystyle g\in C^{1}(0,+\infty ) \). Disegnarne un grafico qualitativo.
Applicando il teorema del Dini e ragionando su \(\displaystyle f \) sono riuscito a studiare il grafico di \(\displaystyle g \) eccetto la derivata prima. Vale però \(\displaystyle g'(x)=-\frac{\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial x}}{\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial y}} \). Attraverso un po' di calcoli si può ottenere che il segno di \(\displaystyle g' \) è il segno dell'espressione \(\displaystyle 1-2xg(x) \). Allora \(\displaystyle g'(x)=0 \) se \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{2x} \). Per definizione di funzione implicita \(\displaystyle f(x,g(x))=0 \). Quindi studio per quali \(\displaystyle x \) si annula la derivata prima di \(\displaystyle g \) risolvendo l'equazione \(\displaystyle f\left ( x,\frac{1}{2x} \right )=0 \). Dopodichè dovrei studiare dove \(\displaystyle g'(x)>0 \), ovvero dove \(\displaystyle g(x)<\frac{1}{2x} \). Come posso procedere?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
\(g\in C^1(0,+\infty)\) almeno o al massimo? Se \(f\in C^2\) si può ricavare la derivata seconda di \(g\).
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