Derivata funzine inversa
ciao, non riesco a fare questo esercizio:
data la funzione $y=e^(x-1)-x$
e la sua inversa $x=g(y) $calcolare $g'(y)$ in $y= 2$
so che devo applicare il teorema della derivata di una funzione inversa
$f^-1(y)=1/(f'(x))$ ma non riesco a risolvere l'equazione
$y=e^(x-1)-x=2$
dato che $f(x0)=2$ grazie mille !
data la funzione $y=e^(x-1)-x$
e la sua inversa $x=g(y) $calcolare $g'(y)$ in $y= 2$
so che devo applicare il teorema della derivata di una funzione inversa
$f^-1(y)=1/(f'(x))$ ma non riesco a risolvere l'equazione
$y=e^(x-1)-x=2$
dato che $f(x0)=2$ grazie mille !
Risposte
Ma tu sei sicuro che vale $f^-1(y)=1/(f'(x))$ ?
ciao . in effetto vole vo dire che $D f^-1(y)=1/(f'(x))$
ho letto sul libro che questa formula si usa per calcolare la derivata di una funzione inversa
ho letto sul libro che questa formula si usa per calcolare la derivata di una funzione inversa
A me sa che la formula è questa qui:
$D(f^-1(y))=1/(f'(f^-1(x))$
$D(f^-1(y))=1/(f'(f^-1(x))$
"Lorin":
A me sa che la formula è questa qui:
$D(f^-1(y))=1/(f'(f^-1(x))$
la formula corretta è $D(f^-1(y))=1/(f'(f^-1(y))$ dove $y=f(x)$.
Che poi in sostanza è la formula scritta da silstar.
Con questa formula però facendo un pò di prove non mi trovo mica. Provate a prendere la funzione $y=x^2$ e ad applicare questa regola.
@Lorin ma infatti questa formula vale solo dove la funzione è (localmente) invertibile. La funzione da te proposta non è globalmente invertibile. E' localmente invertibile in tutti i punti diversi da zero e per questi punti vale la regola precedente (in opportuni intorni).
E se prendessimo $y=x^2$ in $[0,+oo)$ vale la formula!?
PS: mi potresti mostrare i passaggi...grazie!
PS: mi potresti mostrare i passaggi...grazie!
la formula vale prendendo le $x$ in $ (0,+oo ) $ perchè il teorma di derivazione della funzione inversa (e il teorema più generale della mappa inversa) ha tra le ipotesi che $ f'(x0)!= 0 $ .
Quindi nell'intervallo considerato prendiamo ad esempio il punto $2 ;
sappiamo che: $ f(x)= x^2 $ dunque $ f'(x)= 2x $ ;
$ y=f(2)=4 $ e $ f'(2)= 4 !=0$ allora la funzione è localmente invertibile (cioè in un opportuno intorno di 2) e vale la formula
$D(f^-1(y))=1/(f'(f^-1(y))$; nel nostro caso $ y=4 $ e $ f^-1(4)=2 $ dunque $ 1/(f'(2))=1/4 $ .
D'altro canto considerata $ y=x^2 $; nel dominio $ (0,+oo ) $, l'inversa è data da $x= sqrt(y) $ (radice positiva dato il nostro dominio) quindi la sua derivata è $ 1/(2sqrt(y)) $ . Per $y=4$ vale l'uguaglianza.
Spero di essere stata chiara!
Quindi nell'intervallo considerato prendiamo ad esempio il punto $2 ;
sappiamo che: $ f(x)= x^2 $ dunque $ f'(x)= 2x $ ;
$ y=f(2)=4 $ e $ f'(2)= 4 !=0$ allora la funzione è localmente invertibile (cioè in un opportuno intorno di 2) e vale la formula
$D(f^-1(y))=1/(f'(f^-1(y))$; nel nostro caso $ y=4 $ e $ f^-1(4)=2 $ dunque $ 1/(f'(2))=1/4 $ .
D'altro canto considerata $ y=x^2 $; nel dominio $ (0,+oo ) $, l'inversa è data da $x= sqrt(y) $ (radice positiva dato il nostro dominio) quindi la sua derivata è $ 1/(2sqrt(y)) $ . Per $y=4$ vale l'uguaglianza.
Spero di essere stata chiara!
Ho capito....ti ringrazio per la spiegazione!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo