Derivata ennesima esponenziale per potenza

[vabite]

Ciao a tutti.

Vorrei sottoporvi un calcolo di derivata (per me) problematico. Premetto che ci ho sbattuto la testa e non lo posto sul forum perchè mi manca la voglia di rimboccarmi le maniche
Il dilemma è il seguente:

Quale è l'espressione generale della derivata n-esima di e $ e^{-kx}*(x)^(n) $ dove k è un parametro qualsiasi non dipendente da x??

Ho provato a iterarla più volte e, raccogliendo l'esponenziale, il polinomio che andava a moltiplicare seppur inizialmente sembrava riconducibile a una formula compatta dipendente dall'ordine della derivata effettuata, dopo la derivata terza ha perso ogni senso. Allora ho sviluppato l'esponenziale in serie di Taylor giungendo a una formula per la derivata ennesima come sommatoria dalla quale però non riesco ad estrarre l'esponenziale in alcun modo..

[gugo82]

Una nota conseguenza del teorema di derivazione del prodotto è che vale la seguente uguaglianza:

[tex]$[f\ g]^{(N)} =\sum_{h=0}^{N} \binom{N}{h} f^{(h)}\ g^{(N-h)}$[/tex]

(non so se ricordo bene, ma mi pare si chiami formula di Leibniz), che consente di esprimere la derivata [tex]$N$[/tex]-esima del prodotto [tex]$f\ g$[/tex] come somma dei prodotti delle derivate dei fattori [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] mediati da coefficienti pari ai coefficienti binomiali.
Nel tuo caso è [tex]$f(x):=e^{-kx}$[/tex], [tex]$g(x):=x^n$[/tex] ed [tex]$N=n$[/tex], quindi tutto si riduce a scrivere le espressioni delle derivate successive dell'esponenziale e della potenza in forma compatta... Buon divertimento.