Derivata ennesima con Taylor
Ciao a tutti, ho un esercizio in cui mi si chiede di determinare la derivata ventesima valutata in 0 della funzione:
$f(x)=sin(x^4)/sqrt(1+x^8)$
Ora, so che devo usare Taylor, individuare il termine del ventesimo ordine, moltiplicarne il coefficiente per 20! e il gioco è fatto... ma ho difficoltà a trovare la forma definitiva dello sviluppo. Procedo sviluppando separatamente numeratore e denominatore, e poi li rimetto insieme, ottenendo:
$f(x)=(x^4-x^12/(3!)+x^20/(5!)+o(x^20))/(1+1/2x^8-1/8x^16+1/16x^24+o(x^24))$.
A questo punto cosa faccio?
$f(x)=sin(x^4)/sqrt(1+x^8)$
Ora, so che devo usare Taylor, individuare il termine del ventesimo ordine, moltiplicarne il coefficiente per 20! e il gioco è fatto... ma ho difficoltà a trovare la forma definitiva dello sviluppo. Procedo sviluppando separatamente numeratore e denominatore, e poi li rimetto insieme, ottenendo:
$f(x)=(x^4-x^12/(3!)+x^20/(5!)+o(x^20))/(1+1/2x^8-1/8x^16+1/16x^24+o(x^24))$.
A questo punto cosa faccio?
Risposte
Se trasformi il rapporto in un prodotto il cui secondo termine sia un' espressione elevata alla -1, puoi applicare nuovamente McLaurin e dovrebbe risultarti
Allora, seguendo il tuo suggerimento arrivo a:
$f(x)=(x^4-x^12/(3!)+x^20/(5!)+o(x^20))(1-1/2x^8+1/8x^16-1/16x^24+o(x^24))$
A questo punto considero i prodotti che mi danno il termine del ventesimo ordine:
$1/8x^20+1/(2*(3!))x^20+1/(5!)x^20=13/60x^20$
Dunque dovrebbe essere $f^((20))(0)=20!13/60$, ma non è il risultato giusto. Dove sbaglio?
$f(x)=(x^4-x^12/(3!)+x^20/(5!)+o(x^20))(1-1/2x^8+1/8x^16-1/16x^24+o(x^24))$
A questo punto considero i prodotti che mi danno il termine del ventesimo ordine:
$1/8x^20+1/(2*(3!))x^20+1/(5!)x^20=13/60x^20$
Dunque dovrebbe essere $f^((20))(0)=20!13/60$, ma non è il risultato giusto. Dove sbaglio?
Nello sviluppo alla -1 devi scrivere più termini (altrimenti tutto confluisce in o(x^8)
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