Derivata e punto singolare di una funzione
Salve,
stavo studiando la funzione $f(x) = sqrt(|x-2|)/(x+1)$
Calcolando la derivata prima, per i punti singolari mi esce la seguente derivata.
$((sign(x-2)*(x+1)-2*|x-2|)/(2*sqrt(|x-2|)))//(x+1)^2 = (sign(x-2)*(x+1)-2*|x-2|)/(2*sqrt(|x-2|)*(x+1)^2)$
Sapiamo che per la radice ed il valore assoluto abbiamo come candidato punto singolare $2$, ma mi esce sia da destra che da sinistra $+oo$ quindi dovrebbe essere un flesso a tangente verticale. Per wolfram ci esce un punto angoloso.
Abbiamo calcolato male la derivata? come dovrebbe essere invece?
stavo studiando la funzione $f(x) = sqrt(|x-2|)/(x+1)$
Calcolando la derivata prima, per i punti singolari mi esce la seguente derivata.
$((sign(x-2)*(x+1)-2*|x-2|)/(2*sqrt(|x-2|)))//(x+1)^2 = (sign(x-2)*(x+1)-2*|x-2|)/(2*sqrt(|x-2|)*(x+1)^2)$
Sapiamo che per la radice ed il valore assoluto abbiamo come candidato punto singolare $2$, ma mi esce sia da destra che da sinistra $+oo$ quindi dovrebbe essere un flesso a tangente verticale. Per wolfram ci esce un punto angoloso.
Abbiamo calcolato male la derivata? come dovrebbe essere invece?
Risposte
La derivata dovrebbe essere corretta. Comunque vedi che per $x->2$ il signum(x) al numeratore ti fa cambiare il segno della derivata ( dato che il $-2|x-2|$ tende a 0 e non ti serve per determinarti il segno, visto che $(x+1)$ ti tende a 3 )... da destra il limite è $+oo$, ma da sinistra $-oo$.
Quindi in 2 c'è un punto di cuspide.
Quindi in 2 c'è un punto di cuspide.
Si ma noi avevamo il dubbio di quest'altro thread:
https://www.matematicamente.it/forum/dub ... tml#413205
Ovvero, noi abbiamo $+3/O^+$ e $-3/0^-$ a seconda che tendiamo a $2$ rispettivamente da destra o da sinistra. E cosi facendo ci risulta che il limite è sempre $+oo$, dove sbagliamo?
https://www.matematicamente.it/forum/dub ... tml#413205
Ovvero, noi abbiamo $+3/O^+$ e $-3/0^-$ a seconda che tendiamo a $2$ rispettivamente da destra o da sinistra. E cosi facendo ci risulta che il limite è sempre $+oo$, dove sbagliamo?
il denominatore tende sempre a $0^+$. Hai un quadrato ed una radice...
Stavamo ora studiando il segno della derivata per dedurre la monotonia.
Abbiamo quindi detto che il denominatore è sempre una quantità tutta positiva e siamo passati ad esaminare gli altri elementi, abbiamo:
$sign(x-2)$ che è $> 0$ per $x>=2$
$(x+1)$ che è $>0$ per $x>-1$
ed infine abbiamo $-2*|x-2|$, che dovrebbe essere sempre negativa.
Però cosi non ci ritroviamo con il grafico.
Abbiamo quindi detto che il denominatore è sempre una quantità tutta positiva e siamo passati ad esaminare gli altri elementi, abbiamo:
$sign(x-2)$ che è $> 0$ per $x>=2$
$(x+1)$ che è $>0$ per $x>-1$
ed infine abbiamo $-2*|x-2|$, che dovrebbe essere sempre negativa.
Però cosi non ci ritroviamo con il grafico.
"Neptune":Ma $-2*|x-2|$ tende a 0, non t'importa come... Tanto l'altro addendo è molto più+ grande, tende a 3!
Stavamo ora studiando il segno della derivata per dedurre la monotonia.
Abbiamo quindi detto che il denominatore è sempre una quantità tutta positiva e siamo passati ad esaminare gli altri elementi, abbiamo:
$sign(x-2)$ che è $> 0$ per $x>=2$
$(x+1)$ che è $>0$ per $x>-1$
ed infine abbiamo $-2*|x-2|$, che dovrebbe essere sempre negativa.
Però cosi non ci ritroviamo con il grafico.
Cioè alla fine il numeratore tende a $3SGN(x)$, è questo quello che conta, perchè ti fa variare il segno del limite!
non capisco e questo cosa c'entra con il segno?
Mmm.. allora. Il denominatore ti tende a $0^+$.
Per il numeratore invece hai:
$lim_{x -> 2^+} SGN(x-2) \cdot (x+1) -2|x-2| = lim_{x -> 2^+} +(x+1) - lim_{x -> 2^+} 2|x-2| = 3 - 0$
$lim_{x -> 2^-} SGN(x-2) \cdot (x+1) -2|x-2| = lim_{x -> 2^-} -(x+1) - lim_{x -> 2^-} 2|x-2| = -3 - 0$
Capisci ora perchè il limite cambia di segno?
Per il numeratore invece hai:
$lim_{x -> 2^+} SGN(x-2) \cdot (x+1) -2|x-2| = lim_{x -> 2^+} +(x+1) - lim_{x -> 2^+} 2|x-2| = 3 - 0$
$lim_{x -> 2^-} SGN(x-2) \cdot (x+1) -2|x-2| = lim_{x -> 2^-} -(x+1) - lim_{x -> 2^-} 2|x-2| = -3 - 0$
Capisci ora perchè il limite cambia di segno?
"pater46":
Mmm.. allora. Il denominatore ti tende a $0^+$.
Per il numeratore invece hai:
$lim_{x -> 2^+} SGN(x-2) \cdot (x+1) -2|x-2| = lim_{x -> 2^+} +(x+1) - lim_{x -> 2^+} 2|x-2| = 3 - 0$
$lim_{x -> 2^-} SGN(x-2) \cdot (x+1) -2|x-2| = lim_{x -> 2^-} -(x+1) - lim_{x -> 2^-} 2|x-2| = -3 - 0$
Capisci ora perchè il limite cambia di segno?
Capito, invece mi sto perdendo nel calcolare il segno della derivata, prima, qual'è? come me la snellisco tutta quella roba li?
Ne approfitto anche per chiedere una cosa:
Stavo facendo degli esercizi sul fare le derivate e mi dice che $-1/2*e^2$ fa $0$ come derivata. Possibile? So che una costante fa zero, ma $e^x$ non dovrebbe rimanere tale?
Stavo facendo degli esercizi sul fare le derivate e mi dice che $-1/2*e^2$ fa $0$ come derivata. Possibile? So che una costante fa zero, ma $e^x$ non dovrebbe rimanere tale?
Si ma tu hai $e^2$ non $e^x$. La prima è una costante ( che vale circa 7.38 ) , la seconda una funzione esponenziale che aumenta all'aumentare di x.
In quella derivata comunque l'unica cosa che ti determina il segno è il numeratore...
In quella derivata comunque l'unica cosa che ti determina il segno è il numeratore...
Si questo lo sapevo, ma non sapevo come semplificarlo il numeratore per poi riuscirlo a studiare, perchè cosi come è come faccio?
Basta dividere lo studio in due, uno per $x<2$ e l'altro per $x>=2$.
Ma cosa significa studiare prima per $x<2$ e per $x>2$ ?
Cioè spezziamo il dominio in due, e quindi diciamo fino a quel punto si comporta in un modo, da quel punto in poi guarda l'altro studio del segno?
Potresti farcelo vedere tu questo studio del segno?
Cioè spezziamo il dominio in due, e quindi diciamo fino a quel punto si comporta in un modo, da quel punto in poi guarda l'altro studio del segno?
Potresti farcelo vedere tu questo studio del segno?
Una sola cosa: le funzioni coi moduli STUDIATELE PER CASI! Per "x>=2" la funzione è... per "x<2" la funzione è... !!! Vi semplificherete la vita!
Stavo provando a fare un'altro studio di funzione e volevo capire se ho fatto bene la derivata, vi scrivo tutti i passaggi:
$f(x) = |x^2-3|/e^x$
$f'(x) = ((|x^2-3|)'*e^x - (|x^2-3|)*(e^x)')/(e^x)^2$
Questo diventa:
$(sign(x^2-3) * 2x * e^x - |x^2-3| * e^x)/(e^x)^2$
Metto in evidenza segno:
$(sign(x^2-3) * (2x*e^x -(x^2-3) * e^x))/(e^x)^2$
Metto in evidenza $e^x$:
$(sign(x^2-3)*e^x*(2x-x^2+3))/(e^x)^2$
Semplifico $e^x$ al numeratore e al denominatore ed ottengo:
$(sign(x^2-3)*(2x-x^2+3))/e^x$
Ho fatto bene i calcoli o mi è sfuggito qualcosa?
$f(x) = |x^2-3|/e^x$
$f'(x) = ((|x^2-3|)'*e^x - (|x^2-3|)*(e^x)')/(e^x)^2$
Questo diventa:
$(sign(x^2-3) * 2x * e^x - |x^2-3| * e^x)/(e^x)^2$
Metto in evidenza segno:
$(sign(x^2-3) * (2x*e^x -(x^2-3) * e^x))/(e^x)^2$
Metto in evidenza $e^x$:
$(sign(x^2-3)*e^x*(2x-x^2+3))/(e^x)^2$
Semplifico $e^x$ al numeratore e al denominatore ed ottengo:
$(sign(x^2-3)*(2x-x^2+3))/e^x$
Ho fatto bene i calcoli o mi è sfuggito qualcosa?
Tra l'atro mi chiedevo come lo calcolo il limite, per $x->-oo$ di $|x^2-3|/e^x$ ?
Non è una forma di indeterminazione $-00/0$?
Non è una forma di indeterminazione $-00/0$?
Allora, per la prima derivata... esistono programmi tipo derive o wolfram che ti danno il risultato di operazioni come la derivazione o l'integrazione... e che quindi puoi utilizzare per confrontare i tuoi risultati con quelli loro.
Per il secondo limite.. l'esponenziale è molto più forte di qualunque termine polinomiale all'infinito, quindi tale limite tende a 0.
Per il secondo limite.. l'esponenziale è molto più forte di qualunque termine polinomiale all'infinito, quindi tale limite tende a 0.
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