Derivata e primitiva serie
Ciao, amici! Avrei un piccolo dubbio teorico sulla derivata della somma di una serie: se la somma della serie delle derivate (o degli integrali definiti o funzioni integrali) del termine generale converge, si può dire che tale somma è -banalmente... oppure sto sparando stupidaggini- la derivata (rispettivamente l'integrale definito) della somma della serie?
Cioè se \(\sum_n^{\infty} f_n'(x)\) (rispettivamente \(\sum_n^{\infty}\int_{a}^{b} f_n(x) \text{d}x\) )converge, è corretto dire che
\[\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sum_n^{\infty} f_n(x) = \sum_n^{\infty}\frac{\text{d}}{\text{d}x} f_n(x) \]
e $\sum_n^{\infty}\int_{a}^{b} f_n(x) \text{d}x = \int_{a}^{b} \sum_n^{\infty} f_n(x) \text{d}x $, rispettivamente?
So che possono non esistere finiti \(\sum_n^{\infty} f_n'(x)\) e \(\sum_n^{\infty}\int_{a}^{b} f_n(x) \text{d}x\), ma se esistono...
$+oo$ grazie a tutti!!!
Cioè se \(\sum_n^{\infty} f_n'(x)\) (rispettivamente \(\sum_n^{\infty}\int_{a}^{b} f_n(x) \text{d}x\) )converge, è corretto dire che
\[\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sum_n^{\infty} f_n(x) = \sum_n^{\infty}\frac{\text{d}}{\text{d}x} f_n(x) \]
e $\sum_n^{\infty}\int_{a}^{b} f_n(x) \text{d}x = \int_{a}^{b} \sum_n^{\infty} f_n(x) \text{d}x $, rispettivamente?
So che possono non esistere finiti \(\sum_n^{\infty} f_n'(x)\) e \(\sum_n^{\infty}\int_{a}^{b} f_n(x) \text{d}x\), ma se esistono...
$+oo$ grazie a tutti!!!
Risposte
Esistono dei teoremi di passaggio al limite sotto integrazione e derivazione, che trovi (in ipotesi classiche) in qualsiasi libro di analisi II.
Non sempre è possibile effettuare tale scambio fra derivata/integrale e serie.
Non sempre è possibile effettuare tale scambio fra derivata/integrale e serie.
Grazie $+oo$ Rigel!!! Allora attendo di trovare questi criteri più avanti nel libro...
Ciao!!!
Ciao!!!
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