Derivata e discontinuità di prima specie
Mi è parso di capire durante l'ultima lezioni di analisi che la derivata di una funzione (ovviamente derivabile) non può presentare discontinuità di prima specie (non può saltare).
1) È vero? O meglio, ho capito bene?
2) Eventualmente potete aiutarmi con la dimostrazione?
Grazie in anticipo.
1) È vero? O meglio, ho capito bene?
2) Eventualmente potete aiutarmi con la dimostrazione?
Grazie in anticipo.
Risposte
"andyrock":
Mi è parso di capire durante l'ultima lezioni di analisi che la derivata di una funzione (ovviamente derivabile) non può presentare discontinuità di prima specie (non può saltare).
1) È vero? O meglio, ho capito bene?
2) Eventualmente potete aiutarmi con la dimostrazione?
Grazie in anticipo.
Ciao!
Mi sà che hai sentito male,
perchè se ad esempio consideri la $f(x)=|x|:RR->RR$,avrai che $f'(x)={ (+1text{ se x>0}),(-1text{ se x<0}):}:RR-{0}->RR$,
la quale presenta discontinuità di prima specie in x=0;
se poi consideri la $f(x)=sqrt(|x|):RR->RR$ avrai in 0 un punto di discontinuità di seconda specie per $f'(x)$:
quello che non può accadere,se ci pensi bene,
è che la discontinuità d'una derivata possa essere di terza specie in qualche punto..
Saluti dal web.
@theras: nei due casi da te citati la derivata non ha una discontinuità nell'origine, visto che lì non è nemmeno definita.
@andyrock: hai sentito bene. E' la cosiddetta proprietà di Darboux delle derivate:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Darboux
@andyrock: hai sentito bene. E' la cosiddetta proprietà di Darboux delle derivate:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Darboux
Ciao Rigel!
Ed allora mi sà che c'è incompatibilità tra le definizioni di base
(appena posso guardo con attenzione il link da te consigliato,e vediamo se il punto è questo..);
per me,ad ex,la funzione $g(x)=|x|/x:RR-{0}->RR$ ha una discontinuità di prima specie in 0
(pur non essendo ivi definita..),
perchè $EElim_(x->0^+)g(x)=1inRR$^$EElim_(x->0^-)g(x)=-1inRR$,ma $1!=-1$
(stesso discorso per la $h(x)={ (|x|/xtext{ se }x!=0),(2text{ se }x=0):}:RR->RR$,naturalmente..):
perchè dovrebbe cambiare la terminologia se al posto di g mettessimo la $f'$ del post iniziale?
In altre parole per me i punti angolosi s'hanno quando la derivata prima ha una discontinuità di prima specie,
e quelli cuspidali se la ha di seconda specie:
quel che non può accadere,in base alla definizione stessa di derivata,
è che si presenti una discontinuità eliminabile per $f'$ in qualche $x_0$ dell'interno di domf in cui f è derivabile..
Apertissimo a rivedere la terminologia,comunque,ma ho bisogno d'esser convinto sulle ragioni per le quali farlo:
saluti dal web.
Ed allora mi sà che c'è incompatibilità tra le definizioni di base
(appena posso guardo con attenzione il link da te consigliato,e vediamo se il punto è questo..);
per me,ad ex,la funzione $g(x)=|x|/x:RR-{0}->RR$ ha una discontinuità di prima specie in 0
(pur non essendo ivi definita..),
perchè $EElim_(x->0^+)g(x)=1inRR$^$EElim_(x->0^-)g(x)=-1inRR$,ma $1!=-1$
(stesso discorso per la $h(x)={ (|x|/xtext{ se }x!=0),(2text{ se }x=0):}:RR->RR$,naturalmente..):
perchè dovrebbe cambiare la terminologia se al posto di g mettessimo la $f'$ del post iniziale?
In altre parole per me i punti angolosi s'hanno quando la derivata prima ha una discontinuità di prima specie,
e quelli cuspidali se la ha di seconda specie:
quel che non può accadere,in base alla definizione stessa di derivata,
è che si presenti una discontinuità eliminabile per $f'$ in qualche $x_0$ dell'interno di domf in cui f è derivabile..
Apertissimo a rivedere la terminologia,comunque,ma ho bisogno d'esser convinto sulle ragioni per le quali farlo:
saluti dal web.
Rieccomi,Rigel!
M'aspettavo chissà quale enciclica,ma il teorema di Darboux alla fine era una delle proprietà "senza nome" di Analisi I;
l'ho guardato ed ho capito l'inghippo,comunque:
l'ipotesi di derivabilità di f internamente ad un dominio chiuso e limitato non era stata fatta da alcuna parte,
nel post originario..
Mette esplicitamente in evidenza solo che è "ovviamente" da ipotizzare la sua derivabilità,
ma non che f è definita in un dominio chiuso e limitato:
diciamo che il caso da me considerato potrebbe essere preso come buon controesempio,
se si volesse metter in evidenza l'importanza,nelle ipotesi del teorema da te citato,
del fatto che domf sia chiuso e limitato.
Saluti dal web.
M'aspettavo chissà quale enciclica,ma il teorema di Darboux alla fine era una delle proprietà "senza nome" di Analisi I;
l'ho guardato ed ho capito l'inghippo,comunque:
l'ipotesi di derivabilità di f internamente ad un dominio chiuso e limitato non era stata fatta da alcuna parte,
nel post originario..
"andyrock":
Mi è parso di capire durante l'ultima lezioni di analisi che la derivata di una funzione (ovviamente derivabile) non può presentare discontinuità di prima specie (non può saltare).
1) È vero? O meglio, ho capito bene?
2) Eventualmente potete aiutarmi con la dimostrazione?
Grazie in anticipo.
Mette esplicitamente in evidenza solo che è "ovviamente" da ipotizzare la sua derivabilità,
ma non che f è definita in un dominio chiuso e limitato:
diciamo che il caso da me considerato potrebbe essere preso come buon controesempio,
se si volesse metter in evidenza l'importanza,nelle ipotesi del teorema da te citato,
del fatto che domf sia chiuso e limitato.
Saluti dal web.
Basta che la funzione sia derivabile in un aperto per avere la proprietà di Darboux.
Riguardo alla questione della continuità, per quanto mi riguarda non si può dire se una funzione è continua o no in punti in cui non è definita. Altrimenti potrei dire che una funzione definita in $(0,1)$ è discontinua in $\CC$, oppure nello spazio di Banach delle funzioni integrabili su $(8, 24)$, oppure su un qualsiasi spazio topologico che non c'entra una mazza
(insomma, su qualsiasi cosa dove non è nemmeno definita, non so se ho reso l'idea).
Riguardo alla questione della continuità, per quanto mi riguarda non si può dire se una funzione è continua o no in punti in cui non è definita. Altrimenti potrei dire che una funzione definita in $(0,1)$ è discontinua in $\CC$, oppure nello spazio di Banach delle funzioni integrabili su $(8, 24)$, oppure su un qualsiasi spazio topologico che non c'entra una mazza
(insomma, su qualsiasi cosa dove non è nemmeno definita, non so se ho reso l'idea).
"Rigel":
Basta che la funzione sia derivabile in un aperto per avere la proprietà di Darboux.
Riguardo alla questione della continuità, per quanto mi riguarda non si può dire se una funzione è continua o no in punti in cui non è definita. Altrimenti potrei dire che una funzione definita in $(0,1)$ è discontinua in $\CC$, oppure nello spazio di Banach delle funzioni integrabili su $(8, 24)$, oppure su un qualsiasi spazio topologico che non c'entra una mazza
Ormai è chiaro l'inghippo su quella proprietà da te restituita al legittimo proprietario
(per me era solo una delle tante "anonime" osservazioni-spauracchio-lemmi da tenere nel dovuto conto durante il mio ormai lontano corso d'Analisi I,
perchè magari avevi chiarissimi tutti i teoremi che portavano i nomi delle menti "elette" e poi cadevi su proposizioni
come quella..),
ed ora s'apre un confronto ben più interessante tra due scuole di pensiero:
sulla continuità siamo ovviamente d'accordo,mi sà,
ed addirittura rafforziamo il discorso considerando come ipotesi imprescindibile che il punto finito $x_0$ sia al contempo del dominio
(così tronchiamo in partenza la possibilità di parlare di continuità per di f in punti estranei,
o se preferisci s-mazza-ti
,al dominio..)e d'accumulazione per esso
(così non sorgono dubbi nemmeno sulla possibilità d'estender questo concetto ad eventuali punti isolati di domf,
come d'altronde è giusto che sia per non contraddire in questa eventualità la frase tanto cara ai maturandi
"una funzione è continua in $x_0$ allora e solo quando si riesce a trovare un opportuno intorno di quest'ultimo nel quale non stacchiamo mai la penna dal foglio nel tracciare $G_f$")!
Ma sulla discontinuità mi piacerebbe discutere,
evidenziando come sia pacifico che la continuità in un punto richiede tutta una serie d'imprescindibili condizioni implicite
($x_0inXnnDX$,come già detto,
più la liceità della richiesta dei limiti dx e/o sx,la loro esistenza ed eventuale uguaglianza,la loro finitezza,
e se ho scordato qualcosa chiedo umilmente perdono a Cantor,Weierstrass e,se occorre,pure a Darboux
),ed a farla cadere c vuol dunque talmente poco che si fanno addirittura dei dovuti distinguo all'interno delle stesse classificazioni di discontinuità:
non foss'altro perchè,ad esempio,
si avrebbe una rappresentazione grafica quando il grafico d'una funzione ha un asintoto verticale "completo",
un'altra quando ha un asintoto verticale parziale e "dall'altro lato" non c'è dominio,
oppure s'approssima ad un numero reale o addirittura coincide con esso,
un'altra ancora se un limite per $x->x_0$,pur lecito da chiedere,non esistesse!
Pertanto mi chiedo:
ma non è importante mettere al meglio in evidenza quali siano le condizioni in cui,con certezza,
per la $f'$ può essere scartata a priori una di queste contorte discontinuità
(o per meglio dire un'altra,visto che quella di terza specie contraddirebbe il concetto stesso di funzione derivata..)?
Dibattito aperto,se vuoi:
saluti dal web.
"andyrock":
Mi è parso di capire durante l'ultima lezioni di analisi che la derivata di una funzione (ovviamente derivabile) non può presentare discontinuità di prima specie (non può saltare).
1) È vero? O meglio, ho capito bene?
2) Eventualmente potete aiutarmi con la dimostrazione?
Grazie in anticipo.
Rigel ti ha risposto in modo impeccabile. Una funzione derivabile in un intervallo aperto al quale $x_0$ appartiene, può ammettere derivata non continua in $x_0$, ma questa discontinuità non può essere di prima specie.
"theras":
...
Ma sulla discontinuità mi piacerebbe discutere,
evidenziando come sia pacifico che la continuità in un punto richiede tutta una serie d'imprescindibili condizioni implicite
($x_0inXnnDX$,come già detto,
più la liceità della richiesta dei limiti dx e/o sx,la loro esistenza ed eventuale uguaglianza,la loro finitezza,
e se ho scordato qualcosa chiedo umilmente perdono a Cantor,Weierstrass e,se occorre,pure a Darboux
ed a farla cadere c vuol dunque talmente poco che si fanno addirittura dei dovuti distinguo all'interno delle stesse classificazioni di discontinuità:
Partiamo da una definizione, tanto per fissare l'oggetto del contendere, rimanendo nell'ambito delle funzioni reali di variabile reale.
Def. Sia $f:A\to\RR$, $A\subset\RR$, e sia $x_0\in A$. Diremo che $f$ è continua in $x_0$ se, per ogni $\epsilon>0$, esiste $\delta > 0$ tale che $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ per ogni $x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap A$.
Diremo che $f$ è discontinua in $x_0$ se $f$ non è continua in $x_0$.
Osserviamo subito la richiesta $x_0\in A$, altrimenti ciccia
Cos'altro possiamo dedurre dalla definizione?
1) Se $x_0$ è un punto isolato di $A$, cioè se esiste $\delta>0$ tale che $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap A = \{x_0\}$, allora $f$ è continua in $x_0$ (questo fatto è di immediata verifica).
2) Se $x_0$ è punto di accumulazione per $A$, allora $f$ è continua in $x_0$ se e solo se esiste finito $\lim_{x\to x_0} f(x)$ e vale $f(x_0)$.
3) Se $x_0$ è un punto di accumulazione per l'insieme $A\cap (x_0, +\infty)$, deduciamo che deve esistere finito $\lim_{x\to x_0^+} f(x)$ e deve valere $f(x_0)$.
4) Se $x_0$ è un punto di accumulazione per l'insieme $A\cap (-\infty, x_0)$, deduciamo che deve esistere finito $\lim_{x\to x_0^-} f(x)$ e deve valere $f(x_0)$.
Le note condizioni che classificano il tipo di discontinuità in base all'esistenza/finitezza dei limiti sinistro e destro sono dunque applicabili solo quando $x_0$ è contemporaneamente punto di accumulazione per $A\cap (x_0, +\infty)$ e $A\cap (-\infty, x_0)$. Questo fatto è d'altra parte ovvio; senza quest'ultima richiesta non si può parlare di limite destro e sinistro.
Ciao,Rigel!
Mettiamoci d'accordo sulle definizioni che,altrimenti,
quì rischiamo di spostarci nel campo dei teoremi d'incompletezza godeliani,
forse pericoloso per la nostra salute ;
se tra le condizioni iniziali tu stabilisci che quella maggiormente prioritaria sia $x_0inA$ ti dò ragione quasi su tutto
(nel mio corso la davano ancora più restrittiva e,se vorrai,ci confronteremo sui perchè in sedi diverse da questo post,
del cui "intasamento" mi sento già abbastanza responsabile ..):
però mi diventa indispensabile chiederti come classifichi i vari casi di discontinuità quando $x_0!inA$,
che se ti và chiameremo l'eventualità Ciccia
.
Perchè forse l'oggetto del contendere,e del fraintendere
,è tutto lì;
per me,ad esempio,chiamata h(x) la restrizione di $f(x)=|x|:RR->RR$ ad $RR-{0}$,
h sarà derivabile in tutto il suo aperto di definizione,
e la sua derivata è la funzione $g(x)=sigf(x)=|x|/x:RR-{0}->RR$,
la quale ha discontinuità di prima specie in $x_0=0$ benchè tale punto non appartenga al dominio di g:
ecco perchè è indispensabile specificare che il punto di derivabilità $x_0$ stia in A,
come d'altronde ha fatto speculor quando ha sentito l'esigenza di porre un punto su questa disquisizione..
Ed in effetti era andata un pò troppo oltre quel quesito originario nel quale,pongo però l'accento,
s'è ipotizzato solo una poco specificata derivabilità della funzione data:
a quel punto la si poteva interpretare tranquillamente come derivabilità in tutto il suo aperto di definizione,
ed il controsempio di h appena portato sarebbe stato ottimo per confutare quanto chiesto inizialmente.
Credo d'aver esposto tutte le mie perplessità legate a questo post,
che ritengo legate solo alla differente formalizzazione dei concetti in causa,
e forse ora potremo parlarne meglio:
ma non quì,se possibile,
che altrimenti ci lapidano in pubblica piazza!
Saluti dal web.
Mettiamoci d'accordo sulle definizioni che,altrimenti,
quì rischiamo di spostarci nel campo dei teoremi d'incompletezza godeliani,
forse pericoloso per la nostra salute
;se tra le condizioni iniziali tu stabilisci che quella maggiormente prioritaria sia $x_0inA$ ti dò ragione quasi su tutto
(nel mio corso la davano ancora più restrittiva e,se vorrai,ci confronteremo sui perchè in sedi diverse da questo post,
del cui "intasamento" mi sento già abbastanza responsabile ..):
però mi diventa indispensabile chiederti come classifichi i vari casi di discontinuità quando $x_0!inA$,
che se ti và chiameremo l'eventualità Ciccia
.Perchè forse l'oggetto del contendere,e del fraintendere
,è tutto lì;per me,ad esempio,chiamata h(x) la restrizione di $f(x)=|x|:RR->RR$ ad $RR-{0}$,
h sarà derivabile in tutto il suo aperto di definizione,
e la sua derivata è la funzione $g(x)=sigf(x)=|x|/x:RR-{0}->RR$,
la quale ha discontinuità di prima specie in $x_0=0$ benchè tale punto non appartenga al dominio di g:
ecco perchè è indispensabile specificare che il punto di derivabilità $x_0$ stia in A,
come d'altronde ha fatto speculor quando ha sentito l'esigenza di porre un punto su questa disquisizione..
Ed in effetti era andata un pò troppo oltre quel quesito originario nel quale,pongo però l'accento,
s'è ipotizzato solo una poco specificata derivabilità della funzione data:
a quel punto la si poteva interpretare tranquillamente come derivabilità in tutto il suo aperto di definizione,
ed il controsempio di h appena portato sarebbe stato ottimo per confutare quanto chiesto inizialmente.
Credo d'aver esposto tutte le mie perplessità legate a questo post,
che ritengo legate solo alla differente formalizzazione dei concetti in causa,
e forse ora potremo parlarne meglio:
ma non quì,se possibile,
che altrimenti ci lapidano in pubblica piazza
!Saluti dal web.
"theras":
però mi diventa indispensabile chiederti come classifichi i vari casi di discontinuità quando $x_0!inA$,
Li classifico molto rapidamente: sono punti in cui non ha senso parlare né di continuità né di discontinuità.
Poi uno se ha voglia può vedere cosa combina la funzione da quelle parti, ma questa è un'altra questione.
"theras":
...come d'altronde ha fatto speculor quando ha sentito l'esigenza di porre un punto su questa disquisizione...
Era doveroso. Del resto:
"andyrock":
...che la derivata di una funzione (ovviamente derivabile) non può presentare discontinuità di prima specie...
Molto semplicemente, gli esempi che avevi prodotto non aderivano affatto alla richiesta iniziale, come l'inciso ovviamente derivabile sta a testimoniare.
Ragazzi,
a me continua a sembrare che "l'ovviamente derivabile" potesse,senza incoerenze,
essere inteso relativo a tutto il dominio della f,
ed in tal caso quello di h che ho portato nella risposta precedente sarebbe stato un buon controesempio;
se poi volete dirmi perchè avrei dovuto dedurre che la derivabilità andava necessariamente intesa relativa ad
un punto,mi sarò tolto il dubbio e mi dispiacerò per aver fatto perder tempo a tutti,
altrimenti non avrò trovato una buona ragione per farlo..
Mi sà poi che un altro punto controverso è la definizione di discontinuità di prima specie;
da quanto mi dice Rigel credo d'aver capito che per voi la
$text{rigerspeculor}(x)={ (|x|/xtext{ se }x!=0 ),(2text{ se }x=0 ):}:RR->RR$ dovrebbe avrebbe una discontinuita di prima specie in $x_0=0$,
mentre per la sua restrizione $theras(x)=|x|/x$ a $RR-{0}$ sarebbe illegittimo parlar di tipologia di discontinuità in $x_0$:
nel mio corso d'Analisi I invece erano entrambe discontinue di prima specie in 0,
visto che,quando se ne tracciava il grafico,
nei "pressi" di $vecytext{ }$ s'aveva in ambo i casi un salto di discontinuità non nullo
(ovvero un segmento proprio nel quale s'era costretti a "staccare la penna dal foglio"..)!
Sono due scuole a confronto,ragazzi:
cerchiamo pro e contro dell'una e dell'altra,nel caso,che altrimenti non ne usciamo più..
Saluti dal web.
a me continua a sembrare che "l'ovviamente derivabile" potesse,senza incoerenze,
essere inteso relativo a tutto il dominio della f,
ed in tal caso quello di h che ho portato nella risposta precedente sarebbe stato un buon controesempio;
se poi volete dirmi perchè avrei dovuto dedurre che la derivabilità andava necessariamente intesa relativa ad
un punto,mi sarò tolto il dubbio e mi dispiacerò per aver fatto perder tempo a tutti,
altrimenti non avrò trovato una buona ragione per farlo..
Mi sà poi che un altro punto controverso è la definizione di discontinuità di prima specie;
da quanto mi dice Rigel credo d'aver capito che per voi la
$text{rigerspeculor}(x)={ (|x|/xtext{ se }x!=0 ),(2text{ se }x=0 ):}:RR->RR$ dovrebbe avrebbe una discontinuita di prima specie in $x_0=0$,
mentre per la sua restrizione $theras(x)=|x|/x$ a $RR-{0}$ sarebbe illegittimo parlar di tipologia di discontinuità in $x_0$:
nel mio corso d'Analisi I invece erano entrambe discontinue di prima specie in 0,
visto che,quando se ne tracciava il grafico,
nei "pressi" di $vecytext{ }$ s'aveva in ambo i casi un salto di discontinuità non nullo
(ovvero un segmento proprio nel quale s'era costretti a "staccare la penna dal foglio"..)!
Sono due scuole a confronto,ragazzi:
cerchiamo pro e contro dell'una e dell'altra,nel caso,che altrimenti non ne usciamo più..
Saluti dal web.
Ciao!
E' il mio primo "up":
chissà come mai ho scelto proprio questo momento per farlo..
Saluti dal web.
E' il mio primo "up":
chissà come mai ho scelto proprio questo momento per farlo..
Saluti dal web.
Per quanto mi riguarda non ci sono scuole a confronto.
La definizione è chiara e precisa, non capisco la necessità di andare a introdurre casi speciali, del tutto incompatibili con le definizioni valide su spazi metrici o topologici.
Mettiamola così: se ho la funzione $f(x) = \sqrt{1-x^2}$, definita nel suo dominio naturale $[-1,1]$, come classifico il punto $x_0=107$?
Per carità, so bene che esiste la perversione, da parte di alcuni, di classificare le discontinuità nei punti di accumulazione del dominio che non stiano nel dominio stesso ma, ripeto, francamente non ne vedo la necessità (dunque, non vedo nessun vantaggio a farlo); basta conoscere la nozione di limite sinistro e destro senza dover introdurre altre astruse definizioni.
La definizione è chiara e precisa, non capisco la necessità di andare a introdurre casi speciali, del tutto incompatibili con le definizioni valide su spazi metrici o topologici.
Mettiamola così: se ho la funzione $f(x) = \sqrt{1-x^2}$, definita nel suo dominio naturale $[-1,1]$, come classifico il punto $x_0=107$?
Per carità, so bene che esiste la perversione, da parte di alcuni, di classificare le discontinuità nei punti di accumulazione del dominio che non stiano nel dominio stesso ma, ripeto, francamente non ne vedo la necessità (dunque, non vedo nessun vantaggio a farlo); basta conoscere la nozione di limite sinistro e destro senza dover introdurre altre astruse definizioni.
Ora m'è chiara la tua posizione in merito,e tiro un sospiro di sollievo!!
Il punto è che,in Analisi I,le definizioni e l'approccio alla discontinuità del mio corso vanno in fondo bene,
perchè lì non si perde l'ordinamento "naturale" del dominio ed i concetti di limiti destro e sinistro sono compatibili con quelle definizioni;
ordinare invece punti di $RR^n$,per n>1,sappiamo che non è possibile,
ed infatti si "sostituiscono" i concetti di lim dx e sx del caso unidimensionale con i limiti sulle restrizioni:
a quel punto l'interpretazione intuitiva alla discontinuità vista nel "mio" I° corso salta,
perchè dal piano in poi può davvero succedere di tutto,
ed infatti non si parla di classificazione della discontinuità in Analisi II..
Se dunque la si vuol vedere da un punto di vista puramente topologico,
che abbracci i concetti d'Analisi I come naturale sotto-caso con la metrica del valore assoluto,
sposo obbligatoriamente la tua interpretazione;
ma non prendertela con me se non trovo così perverse le definizioni che t'ho palesato,
perchè in fondo capita spesso di partire da alcuni concetti e,poi,
doverne riadattare l'approccio quando li si vuol generalizzare:
questo non toglie del tutto la bontà di quelle interpretazioni del "caso base"..
Sai poi cos'è?
La topologia è una branca abbastanza "giovane",
e nei miei primi anni d'Università i corsi d'Analisi I erano invece spesso "vecchio stampo";
figurati che,cosa gravissima,
sui vecchi ordinamenti bastava scegliere Algebra Superiore al posto d'Istituzioni di Geometria Superiore e Calcolo delle Probabilità in luogo di Ricerca Operativa
(laddove la Teoria del min max si trattava con un profondo approccio topologico..),
e concludevi gli studi avendo affrontato solo gli spazi metrici come concetto topologico:
e senza neanche sapere bene,non essendone "costretto",
perchè questi ultimi rientravano in quel campo della Matematica..
Ritornando alla nostra "contesa",devo dirti una cosa:
la ritengo chiarita senza più perplessità !
Grazie per gli spunti di riflessione,confronto e crescita,che fanno sempre bene;
d'altronde la Scienza è pure una continua limatura del legno "vecchio",ma di buona qualità,
legata al dubbio,benedetto,che dopo averlo conosciuto bene lo si possa migliorare:
saluti dal web.
Il punto è che,in Analisi I,le definizioni e l'approccio alla discontinuità del mio corso vanno in fondo bene,
perchè lì non si perde l'ordinamento "naturale" del dominio ed i concetti di limiti destro e sinistro sono compatibili con quelle definizioni;
ordinare invece punti di $RR^n$,per n>1,sappiamo che non è possibile,
ed infatti si "sostituiscono" i concetti di lim dx e sx del caso unidimensionale con i limiti sulle restrizioni:
a quel punto l'interpretazione intuitiva alla discontinuità vista nel "mio" I° corso salta,
perchè dal piano in poi può davvero succedere di tutto,
ed infatti non si parla di classificazione della discontinuità in Analisi II..
Se dunque la si vuol vedere da un punto di vista puramente topologico,
che abbracci i concetti d'Analisi I come naturale sotto-caso con la metrica del valore assoluto,
sposo obbligatoriamente la tua interpretazione;
ma non prendertela con me se non trovo così perverse le definizioni che t'ho palesato,
perchè in fondo capita spesso di partire da alcuni concetti e,poi,
doverne riadattare l'approccio quando li si vuol generalizzare:
questo non toglie del tutto la bontà di quelle interpretazioni del "caso base"..
Sai poi cos'è?
La topologia è una branca abbastanza "giovane",
e nei miei primi anni d'Università i corsi d'Analisi I erano invece spesso "vecchio stampo";
figurati che,cosa gravissima,
sui vecchi ordinamenti bastava scegliere Algebra Superiore al posto d'Istituzioni di Geometria Superiore e Calcolo delle Probabilità in luogo di Ricerca Operativa
(laddove la Teoria del min max si trattava con un profondo approccio topologico..),
e concludevi gli studi avendo affrontato solo gli spazi metrici come concetto topologico:
e senza neanche sapere bene,non essendone "costretto",
perchè questi ultimi rientravano in quel campo della Matematica..
Ritornando alla nostra "contesa",devo dirti una cosa:
la ritengo chiarita senza più perplessità
!Grazie per gli spunti di riflessione,confronto e crescita,che fanno sempre bene;
d'altronde la Scienza è pure una continua limatura del legno "vecchio",ma di buona qualità,
legata al dubbio,benedetto,che dopo averlo conosciuto bene lo si possa migliorare:
saluti dal web.
Grazie a tutti! 
Scuate per il ritardo ma chissà per quale motivo non mi sono arrivate le notifiche via email.
Scuate per il ritardo ma chissà per quale motivo non mi sono arrivate le notifiche via email.
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