Derivata distribuzione temperata
Salve dovrei dimostrare che la derivata di una distribuzione temperata è ancora una distribuzione temperata, come faccio?
Risposte
E' abbastanza immediato se conosci le definizioni (sostanzialmente, devi sapere che cos'è una distribuzione temperata e come si definisce la derivata di una distribuzione). Dai, prova a riportare le definizioni e a mostrarci un po' i tuoi tentativi.
Per quanto riguarda le due definizioni si ha:
-una distribuzione è temperata quando:
\( \lim_{n\rightarrow \infty } U(\varphi _{n})=U(\varphi ) \)
-la derivata di una distribuzione è definita da:
\( \left \langle Df(t),\varphi (t) \right \rangle=-\left \langle f(t),D\varphi (t) \right \rangle \)
calcolando la derivata dovrebbe risultare
\( \left \langle DU(\varphi _{n}),\varphi (t) \right \rangle=-\left \langle U(\varphi _{n}),D\varphi (t) \right \rangle \)
fin qua ci sono?
-una distribuzione è temperata quando:
\( \lim_{n\rightarrow \infty } U(\varphi _{n})=U(\varphi ) \)
-la derivata di una distribuzione è definita da:
\( \left \langle Df(t),\varphi (t) \right \rangle=-\left \langle f(t),D\varphi (t) \right \rangle \)
calcolando la derivata dovrebbe risultare
\( \left \langle DU(\varphi _{n}),\varphi (t) \right \rangle=-\left \langle U(\varphi _{n}),D\varphi (t) \right \rangle \)
fin qua ci sono?
Chi sono $\phi_n$ e $\phi$ nella definizione di distribuzione temperata che riporti?
\( \varphi _{n} \) è una generica funzione a decrescenza rapida appartenente a S, \( \varphi \) è la funzione a cui tende la successione { \( {\varphi_{n}} \) }
Sì, esatto; $(\phi_n)_n$ è una successione di funzioni a decrescenza rapida e $\phi$ il limite; resta da precisare che cosa significa $\phi_n \to \phi$ in \( \mathscr S(\mathbb R^n)\).
E' la nozione di convergenza delle funzioni a decrescenza rapida
Scusami se mi permetto. Capisco che probabilmente questa non è la passione della tua vita e rispetto la tua visione del mondo. Ma andare avanti così - ti posso garantire- è solo dannoso e controproducente. Cerca di metterci un po' di impegno, un po' di buona volontà; se non c'è questa, come puoi aspettarti che qualcuno ti aiuti? Va bene la maieutica, però non posso tirarti fuori le cose una a una... Insomma, sembra quasi che tu sia scocciato dalle mie domande.
Allora che cosa dobbiamo fare per mostrare che la derivata è temperata? Prendiamo una successione \( (\varphi_j) \subset \mathscr S(\mathbb R^n)\) con $\phi_j \to \phi$ nel senso di \( \mathscr S(\mathbb R^n) \); dobbiamo mostrare che
\[
\lim_{j} T^{\prime}(\varphi_j) = T^{\prime}(\varphi).
\]
Ma
\[
T^{\prime}(\varphi_j) =- T(\varphi^{\prime}_j)
\]
e $T$ è temperata, quindi... Continua tu.
Allora che cosa dobbiamo fare per mostrare che la derivata è temperata? Prendiamo una successione \( (\varphi_j) \subset \mathscr S(\mathbb R^n)\) con $\phi_j \to \phi$ nel senso di \( \mathscr S(\mathbb R^n) \); dobbiamo mostrare che
\[
\lim_{j} T^{\prime}(\varphi_j) = T^{\prime}(\varphi).
\]
Ma
\[
T^{\prime}(\varphi_j) =- T(\varphi^{\prime}_j)
\]
e $T$ è temperata, quindi... Continua tu.
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