Derivata direzionale/gradiente
Ciao, volevo chiedere un aiuto sulla seguente questione:
spesso sui libri di fisica viene usata con disinvoltura la seguente:
$vecnablaf*vecu=(df)/(du)$, cioè è come se "trasformasse" la derivata direzionale in una derivata rispetto a u classica.
Quello che sono riuscito a capire è che da analisi:
$vecnablaf*vecu=(partialf)/(partialvecu)$ con u versore
se invece uso $vecd$ con d vettore (non unitario in modulo) vale
$vecnablaf*vecd=(partialf)/(partialvecd)*d$
La prima domanda che avevo piacere a porvi è se fin qui va tutto bene (mi pare di si)
seconda domanda: Però non riesco a capire la giustificazione di poter poi calcolare come una classica derivata in u (diciamo derivata "scalare") in sostanza porta $(partialf)/(partialvecu)$ (che ricordiamo è una semplice NOTAZIONE per descrivere una derivata direzionale) in $(partialf)/(partialu)=(df)/(du)$ e svolge attivamente questa derivata in u. Qualcuno saprebbe spiegarmi il passaggio formale del perché funzioni?
spesso sui libri di fisica viene usata con disinvoltura la seguente:
$vecnablaf*vecu=(df)/(du)$, cioè è come se "trasformasse" la derivata direzionale in una derivata rispetto a u classica.
Quello che sono riuscito a capire è che da analisi:
$vecnablaf*vecu=(partialf)/(partialvecu)$ con u versore
se invece uso $vecd$ con d vettore (non unitario in modulo) vale
$vecnablaf*vecd=(partialf)/(partialvecd)*d$
La prima domanda che avevo piacere a porvi è se fin qui va tutto bene (mi pare di si)
seconda domanda: Però non riesco a capire la giustificazione di poter poi calcolare come una classica derivata in u (diciamo derivata "scalare") in sostanza porta $(partialf)/(partialvecu)$ (che ricordiamo è una semplice NOTAZIONE per descrivere una derivata direzionale) in $(partialf)/(partialu)=(df)/(du)$ e svolge attivamente questa derivata in u. Qualcuno saprebbe spiegarmi il passaggio formale del perché funzioni?
Risposte
Ciao siffunziona,
Mi pare di aver capito che non ti serve la dimostrazione della relazione (peraltro reperibile in qualsiasi buon testo di Analisi matematica II), per cui ti invito solo a dare un'occhiata ai post del forum con le parole chiave "derivata direzionale" ed in particolare a questo thread.
Mi pare di aver capito che non ti serve la dimostrazione della relazione (peraltro reperibile in qualsiasi buon testo di Analisi matematica II), per cui ti invito solo a dare un'occhiata ai post del forum con le parole chiave "derivata direzionale" ed in particolare a questo thread.
Quello di quel link in realtà mi torna, vedo quindi di spiegare meglio il dubbio.
Spesso, come dicevo, nei testi di fisica viene trasformata in qualche modo la derivata direzionale (che si svolge nei due modi da te descritti in quel link) in qualcosa di semplice derivata da analisi 1; ossia mettiamo di avere una $f(x,y,z)$ e di voler svolgere $(partialf)/(partialvecn)$ (semplice notazione per la derivata direzionale) in qualcosa che diventa semplicemente $(df)/(dn)$ cioè sfrutta n come semplice variabile per cui derivare alla Analisi 1.
Un esempio di applicazione è in questo calcolo di elettromagnetismo
ove $phi_s$ e $g_s$ sono funzioni di una posizione 3D, però espresse come ad esempio $g_s(r)$ cioè non in un sistema di coordinate cartesiane x,y,z bensì polari (funzione della sola distanza r).
Come vedi sembra proprio trasformare (nella pic) una derivata direzionale in una derivata da analisi 1 in n (la formula del gradiente riquadrata in altro nella pic che porterebbe a una derivata DIREZIONALE -si vede nell'integrale della pic-), inoltre datro che $vecn=-vecr$ allora $(dg_s)/(dn)=-(dg_s(r))/(dr)$
da cui, come si vede in quest'altra slide del prof egli deriva in r e ripeto r come scalare non c'è proprio traccia di una derivazione parziale! E' questo passaggio logico che sinceramente non riesco a compiere:
Spesso, come dicevo, nei testi di fisica viene trasformata in qualche modo la derivata direzionale (che si svolge nei due modi da te descritti in quel link) in qualcosa di semplice derivata da analisi 1; ossia mettiamo di avere una $f(x,y,z)$ e di voler svolgere $(partialf)/(partialvecn)$ (semplice notazione per la derivata direzionale) in qualcosa che diventa semplicemente $(df)/(dn)$ cioè sfrutta n come semplice variabile per cui derivare alla Analisi 1.
Un esempio di applicazione è in questo calcolo di elettromagnetismo
ove $phi_s$ e $g_s$ sono funzioni di una posizione 3D, però espresse come ad esempio $g_s(r)$ cioè non in un sistema di coordinate cartesiane x,y,z bensì polari (funzione della sola distanza r).
Come vedi sembra proprio trasformare (nella pic) una derivata direzionale in una derivata da analisi 1 in n (la formula del gradiente riquadrata in altro nella pic che porterebbe a una derivata DIREZIONALE -si vede nell'integrale della pic-), inoltre datro che $vecn=-vecr$ allora $(dg_s)/(dn)=-(dg_s(r))/(dr)$
da cui, come si vede in quest'altra slide del prof egli deriva in r e ripeto r come scalare non c'è proprio traccia di una derivazione parziale! E' questo passaggio logico che sinceramente non riesco a compiere:
Le relazioni che compaiono nelle foto (che incidentalmente ti inviterei a NON postare nel seguito... 
) le ho viste in Campi Elettromagnetici e Circuiti I: sono la prima e la seconda identità di Green (potresti dare un'occhiata ad esempio qui e alla versione in inglese qui)
Al di là delle notazioni, che possono anche differire, non capisco molto le tue perplessità in merito alla derivata parziale che diventa derivata ordinaria: nel momento in cui dalle variabili $x$, $y$ e $z$ poniamo, si riesce a scrivere la funzione $f $ in termini della sola variabile radiale $r$, cioè $f(r)$ con $\vec r = - \vec n $, è chiaro che la derivata parziale diventa de facto una derivata ordinaria...
) le ho viste in Campi Elettromagnetici e Circuiti I: sono la prima e la seconda identità di Green (potresti dare un'occhiata ad esempio qui e alla versione in inglese qui)Al di là delle notazioni, che possono anche differire, non capisco molto le tue perplessità in merito alla derivata parziale che diventa derivata ordinaria: nel momento in cui dalle variabili $x$, $y$ e $z$ poniamo, si riesce a scrivere la funzione $f $ in termini della sola variabile radiale $r$, cioè $f(r)$ con $\vec r = - \vec n $, è chiaro che la derivata parziale diventa de facto una derivata ordinaria...
Ciao e grazie ancora pilloeffe, mi piacerebbe chiederti ancora un paio di cosette...
Ok, allora forse mi sono solo un po' perso nelle notazioni. come riporti giustamente tu quelle sono le identità di green e non mi provocano grandi dubbi a riguardo è più quel passaggio da derivata direzionale a derivata "classica" a confondermi.
Come dicevo: generalmente si usa come mera notazione $vecnablaf*vecr=(partialf)/(partialvecr)$ per INDICARE la derivata direzionale lungo il versore $vecr$ (in coordinate cartesiane).
Mi lasciava un po' perplesso la riscrittura della derivata direzionare come $(df)/(dr)$, lo vedevo come un trick notazionale, invece mi pare di capire che il senso corretto è questo: sapendo che $vecr$ è il vettore posizione, e riscrivendo in coordinate polari f, ossia avendo una riscrittura di $f(x,y,z)$ in $f(r)$ a questo punto la derivata direzionale $(partialf)/(partialvecr)$ in coordinate cartesiane diventa in coordinate polari la classica $(df)/(dr)$. Giusto? Chiedo per capire se ho capito o sto dicendo fandonie. [ora mi sembra tornare ma vorrei chiederti conferma]
D'altra parte se quello che ho detto non sono cretinate mi chiedo però come dimostrare che questa intuizione sia giusta, ammetto di non riuscire a vedere perfettamente il perché funzioni. (come potrei fare?)
Ok, allora forse mi sono solo un po' perso nelle notazioni. come riporti giustamente tu quelle sono le identità di green e non mi provocano grandi dubbi a riguardo è più quel passaggio da derivata direzionale a derivata "classica" a confondermi.
Come dicevo: generalmente si usa come mera notazione $vecnablaf*vecr=(partialf)/(partialvecr)$ per INDICARE la derivata direzionale lungo il versore $vecr$ (in coordinate cartesiane).
Mi lasciava un po' perplesso la riscrittura della derivata direzionare come $(df)/(dr)$, lo vedevo come un trick notazionale, invece mi pare di capire che il senso corretto è questo: sapendo che $vecr$ è il vettore posizione, e riscrivendo in coordinate polari f, ossia avendo una riscrittura di $f(x,y,z)$ in $f(r)$ a questo punto la derivata direzionale $(partialf)/(partialvecr)$ in coordinate cartesiane diventa in coordinate polari la classica $(df)/(dr)$. Giusto? Chiedo per capire se ho capito o sto dicendo fandonie. [ora mi sembra tornare ma vorrei chiederti conferma]
D'altra parte se quello che ho detto non sono cretinate mi chiedo però come dimostrare che questa intuizione sia giusta, ammetto di non riuscire a vedere perfettamente il perché funzioni. (come potrei fare?)
"siffunziona":
Giusto?
Sì.
"siffunziona":
mi chiedo però come dimostrare che questa intuizione sia giusta
Non mi è chiaro cosa dovresti dimostrare...
Facciamo un esempio, consideriamo la funzione
$g(x, y, z) = e^{i k \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}/\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $
Di questa funzione ha senso calcolarsi il gradiente $ \vec\nabla g $ e quindi ovviamente anche $ \vec\nabla g \cdot \vec r = r (\partial g)/(\partial r) $
Nel momento in cui esprimi la funzione $g$ in termini di $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, scriverai $g(r) = e^{i k r}/r $ che è una funzione della sola variabile $r$, quindi $ (\partial g)/(\partial r) $ di fatto diventa $ (\text{d} g)/(\text{d}r) $
In realtà poi si può dimostrare che anche $\vec\nabla g \cdot \vec r = i (x^2 + y^2 + z^2) e^{ik \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}/(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}(k\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} + i) $
si può esprimere in termini della sola variabile $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$:
$h(r) := \vec\nabla g \cdot \vec r = i r^2 e^{ik r}/r^{3}(kr + i) = i e^{ik r}/r (kr + i) = (ikr - 1) e^{ik r}/r $
Puoi autonomamente verificare che si ha $ r (\text{d} g)/(\text{d}r) = h(r) $
@pilloeffe: grazie per la tua risposta. Mi sembra il tuo esempio essermi chiaro.
Volevo solo porti un'ultima domanda poi tolgo il disturbo da questo 3D (sperando di capire anche questo grazie al tuo aiuto:-) ):
$∇⃗ g⋅r⃗ =r(∂g)/(∂r)$ come detto questa è la formula del gradiente (e siamo in coordinate cartesiane, cioe g(x,y,z) faccio il gradiente ecc e trovo la derivata direzionale, benissimo! TUtto chiaro.
Mi chiedevo però: esiste una formula del gradiente $∇⃗ g⋅r⃗ $ che mi dia una derivata direzionale anche quando mi trovo in coordinate polari? Altresì chiedo in coordinate polari gradiente per qualche vettore "r" mi può dare una derivata parziale? Cioè in coordinate polari come funziona?
grazie.
Volevo solo porti un'ultima domanda poi tolgo il disturbo da questo 3D (sperando di capire anche questo grazie al tuo aiuto:-) ):
$∇⃗ g⋅r⃗ =r(∂g)/(∂r)$ come detto questa è la formula del gradiente (e siamo in coordinate cartesiane, cioe g(x,y,z) faccio il gradiente ecc e trovo la derivata direzionale, benissimo! TUtto chiaro.
Mi chiedevo però: esiste una formula del gradiente $∇⃗ g⋅r⃗ $ che mi dia una derivata direzionale anche quando mi trovo in coordinate polari? Altresì chiedo in coordinate polari gradiente per qualche vettore "r" mi può dare una derivata parziale? Cioè in coordinate polari come funziona?
grazie.
"siffunziona":
@pilloeffe: grazie per la tua risposta.
Prego!
"siffunziona":
Mi chiedevo però: esiste una formula del gradiente $\vec\nabla g \cdot \vec r $ che mi dia una derivata direzionale anche quando mi trovo in coordinate polari? Altresì chiedo in coordinate polari gradiente per qualche vettore "r" mi può dare una derivata parziale?
Beh, certo: basta una qualsiasi funzione $ g(x, y, z) $ che in coordinate cilindriche (più che polari) diventi una $g(r, \theta, z) $ od anche solo una $g(r, z) $ o una $g(r, \theta) $ che ecco che la derivata parziale $ (\del g)/(\del r) $ della formula $ \vec\nabla g \cdot \vec r = r (\partial g)/(\partial r) $ rimane tale...
Poi naturalmente, una volta espressa $g$ in coordinate cilindriche (od anche sferiche) esistono e sono ben note le espressioni del gradiente in tali coordinate, ma questo immagino tu lo sappia già se stai studiando queste cose, sicché non insisto oltre...
"pilloeffe":
Beh, certo: basta una qualsiasi funzione $ g(x, y, z) $ che in coordinate cilindriche (più che polari) diventi una $g(r, \theta, z) $ od anche solo una $g(r, z) $ o una $g(r, \theta) $ che ecco che la derivata parziale $ (\del g)/(\del r) $ della formula $ \vec\nabla g \cdot \vec r = r (\partial g)/(\partial r) $ rimane tale...
Forse mi sono spiegato male con troppi ghirigori, il punto che volevo dire è che non ho ben compreso perché con sicurezza possiamo dire che la derivata direzionale rimanga tale. Perché la dimostrazione della formula del gradiente che ho visto usa a piene mani il fatto che siamo in cartesiane, quindi non riesco a vedere quell'uguaglianza perché continui a valere anche in coordinate cilindriche appunto.
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