Derivata direzionale regola delle catena

[abe989898]

Sia data la funzione $f(x; y) = log(3x) + y^3$
Stabilire se la direzione u = (0; 2) è di crescita o di decrescita locale per f uscente da (1/2; 0)

$\grad$ $f(x,y)$ $((1/x),(3y^2))$

In questo caso $\grad$ $f(1/2,0)^T$*$((0),(2))$ $= (2,0)^T$$((0),(2))$ = 0

Questo passaggio non lo capisco:
Sfruttando la regola della catena si ha che:

$\varphi'u(t)$= $\grad$ $f(1/2,2t)^T$*$((0),(2))$ = $24t^2$

Non capisco da dove viene fuori il 2t applicando la regola della catena.

[Lebby]

Perché prendi un vettore infinitesimo t nella direzione di u sul punto p=(1/2,0). E dato che nella direzione di u la coordinata x di p+t è uguale a quella di p allora df(p)=0 ma df(p+t) è sempre maggiore o uguale a zero e per questo dato p è stazionario per f concludi che essendo il differenziale positivo nella direzione di u (in un intorno di p) allora p è di minimo. Però non lo puoi dire con certezza perché se prendi un altra direzione in p non è detto sia ancora di minimo. Per controllare effettivamente dovresti discuterti l'hessiano della f nel punto.