Derivata direzionale nulla

[ale0890]

Salve a tutti, presento il mio problema:
$ { ( (x+y)/2 ),( 1 ):} $
dove la prima legge vale per x≠0 e la seconda per x=0.
Il problema mi chiede se nel punto P (3,-3) esistono direzioni con derivata direzionale nulla.
So che la direzione con derivata direzionale nulla è quella ortogonale alla direzione di massima pendenza, ma poi come posso proseguire? posso applicare il teorema secondo il quale se una funzione è differenziabile la derivata direzionale calcolata in P è uguale al prodotto scalere tra la derivata calcolata in P e il Versore v?
Grazie!

[walter891]

puoi calcolare la derivata lungo la direzione generica $(cos(theta),sin(theta))$ ed osservi se ci sono valori di $theta$ in cui si annulla

[Plepp]

Ciao. Si, puoi utilizzare la formula del gradiente se $f$ è differenziabile (e lo è) in $P(3,-3)$; in tal caso la derivata lungo la generica direzione $\mathbf{v}=(a,b)$ (oppure $=(\cos \theta,\sin \theta)$, ma penso non ti conviene scriverla così) è
\[D_\mathbf{v}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{v}\]
Abbiamo
\[\nabla f(P)=(1/2, 1/2)\]
per cui
\[D_\mathbf{v}f(P)=(1/2,1/2)\cdot(a,b)=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\]
Ponendo uguale a zero troviamo
\[\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=0\implies a=-b\]
Quindi ci sono infinite direzioni in cui la derivata direzionale calcolata in $P$ si annulla.

Ciao
Giuseppe

[ale0890]

Ho capito! grazie mille! però mi è venuto un altro dubbio...se io considero il torema di Dini potrei giungere ugualmente ad affermare che che esistono derivate direzionali nulle a partire dal punto (3, -3)?
Le ipotesi di Dini sono comunque confermate, quindi so che per P passa una curva di livello che ha retta tangente in P, che sarebbe la retta ortogonale alla direzione di massima pendenza. Posso affermare che le direzioni lungo tale retta hanno derivata direzionale nulla???