Derivata direzionale minima

[francesco 96]

In che modo va determinato il parametro a nel seguente esercizio?? Data la funzione f(x,y) a^2 x^2+ay^2 x determinare a in modo tale che la derivata direzionale in (1,1) lungo la direzine della retta y=-√3 x nel verso delle x crescenti sia minima.

Grazie in anticipo

[gugo82]

Beh, prova a fre due conti...

Come calcoli la derivata direzionale in questione?
Come fai a minimizzarla?

[francesco 96]

ho calcolato la derivata direzionale con la formula del gradiente, ovvero ho moltiplicato il gradiente calcolato nel punto (1,1) con il vettore di norma uno ottenuto dalla parametrizzazione della retta (vettore direzionale). Ho ottenuto così la derivata direzionale in funzione di a. Non capisco cosa devo imporre per far si che sia minima. So che il gradiente indica la direzione di massima salita e quindi la direzione opposta sarà di massima discesa, ma non so come proseguire

[Ziben]

"Francesco Guarino":ho calcolato la derivata direzionale con la formula del gradiente, ovvero ho moltiplicato il gradiente calcolato nel punto (1,1) con il vettore di norma uno ottenuto dalla parametrizzazione della retta (vettore direzionale). Ho ottenuto così la derivata direzionale in funzione di a. Non capisco cosa devo imporre per far si che sia minima. So che il gradiente indica la direzione di massima salita e quindi la direzione opposta sarà di massima discesa, ma non so come proseguire

Come evidenziato nel testo quotato la derivata direzionale sarà una funzione di a ($y=g(a)$). Come fai a trovare il minimo di una funzione?

[francesco 96]

Dovrei quindi calcolare normalmente il minimo di una funzione? La derivata direzionale che ho ottenuto è a^2 + (1/2-√3)a.
La cui derivata è 2a + (1/2-√3) e quindi studiandola ottengo il minimo in a=√3/2-1/4. Corretto?

[Ziben]

[francesco 96]

Scusa, ma se veniva chiesto: "per quale valore di a la derivata direzionale è massima?" Come avrei dovuto fare? La funzione in a non presenta un massimo ma solo un minimo.. non si dovrebbe porre qualche condizione circa la direzione del gradiente??

[MugiwaranoLuffy]

Il massimo ti sarebbe stato richiesto se anziche' la direzione essere nel verso delle x crescenti ,sarebbe stato nel verso delle x decrescenti perche' in quel caso avresti dovuto prendere il vettore direzionale opposto e questo avrebbe cambiato la funzione g(a)