Derivata direzionale in un punto del campo di esistenza

[toninoru2000]

Salve, prima di porre il quesito vorrei ringraziavi per l'aiuto che ho ricevuto, indirettamente, fino ad ora mi sono limitato a leggere, studiare e soprattutto usare la funzione di ricerca , dal vostro forum.

Dopo la piccola premessa ecco il mio quesito: ho una serie di esercizi che riguardano le derivate parziali e le derivate direzionali.

Le richieste sono: calcolo delle derivate parziali del primo e del secondo ordine e poi, per ogni funzione, si deve calcolare una derivata direzionale di ordine uno in un punto del campo di esistenza della funzione stessa.

Per quanto riguarda le derivate parziali del primo e del secondo ordine non ho alcun tipo di problema, sono abbastanza semplici. Vorrei quindi capire come rispondere alla seconda parte, precisando che non è specificato se eseguire il calcolo con la formula della definizione delle derivate direzionali o con la formula del gradiente.

Le funzioni, faccio esempi semplici, sono del tipo $ f(x,y)=xy $

oppure $ f(x,y)=log(xy) $

[phaerrax]

Be' se la funzione è differenziabile sai che è equivalente calcolarla con uno o l'altro metodo, no?
Ma poi, in quale direzione? Una generica?

[toninoru2000]

"phaerrax":Be' se la funzione è differenziabile sai che è equivalente calcolarla con uno o l'altro metodo, no?

Sì, certo, questo lo so

Ma poi, in quale direzione? Una generica?

è appunto questo che non capisco, forse il quesito non è posto nel modo corretto. Dice proprio letteralmente: calcolare una derivata direzionale di ordine uno in un punto del campo di esistenza della funzione.

[phaerrax]

Allora, nel dubbio, userei una direzione generica indicata da un versore \((a,b)\) (normalizzato!), così per definizione la derivata di \(f(x,y)\), nel punto generico \((x,y)\), in quella direzione è
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f(x+at,y+bt)-f(x,y)}{t}
\]
oppure direttamente \((a,b)\cdot\nabla f(x,y)\), se \(\nabla f(x,y)\) esiste.

[toninoru2000]

grazie, ho fatto proprio così

Ciao