Derivata direzionale funzione in un punto

[CLaudio Nine]

Ciao a tutti!

Vi propongo un mio dubbio di natura teorica.
Data la funzione $f(x,y)= e^x + cos(y) $.
Calcolare la derivata direzionale di $f$ nel punto $(0,0)$ lungo la direzione $(2,1)$.

Se la funzione è differenziabile nel punto, posso calcolare la derivata direzionale anche con il prodotto scalare col gradiente, quindi ho due opzioni equivalenti:
- prodotto scalare tra gradiente della funzione nel punto e versore;
- calcolo derivata direzionale tramite la definizione con limite.


Domanda:
In entrambi i casi, nei calcoli, devo utilizzare il vettore dato oppure il suo versore?
Io ho sempre utilizzato il versore, sia nel prodotto scalare con il gradiente che nel calcolo del limite.
Tuttavia, in alcuni file pdf di esercitazioni universitarie reperibili on-line (di università rinomate), viene utilizzato il vettore (con norma diversa da 1). Ovvio che il risultato sarà diverso a seconda che io usi l'uno o l'altro.

Qualcuno saprebbe far chiarezza?

[anto_zoolander]

puoi tranquillamente fare il prodotto scalare tra il gradiente e il vettore senza normalizzarlo

poi dipende da cosa viene inteso per "derivata direzionale"
alcuni intendono la derivata su un versore altri semplicemente la derivata lungo un vettore qualsiasi

[dissonance]

Infatti, è solo questione di convenzioni ed è facilissimo ricondursi da una convenzione all'altra, perché, indicando con \(D_w\) la derivata direzionale rispetto al vettore \(w\), si ha che
\[
D_{\lambda w} =\lambda D_w, \qquad \forall \lambda \in\mathbb R.\]
In particolare, la derivata rispetto al versore \(\frac{w}{|w|}\) è legata alla derivata rispetto a \(w\) dalla formula
\[
D_{w/|w|}=\frac{1}{|w|} D_w.\]

[CLaudio Nine]

Ho capito.
Mi trovavo un attimo in difficoltà perché in entrambi i casi veniva richiesto di trovare LA derivata direzionale.
Pensavo dunque la definizione fosse univoca, ma evidentemente, come suggerito da voi, cambia a seconda delle convenzioni.