Derivata direzionale e derivata ordinaria
Buon pomeriggio a tutti. Ho un dubbio riguardo il legame che intercorre fra derivata direzionale e derivata ordinaria per una sola variabile. Ad esempio, se considero $ (df) / (d(ax)) $ con $ a $ costante, mi verrebbe da dire che, per la regola della catena, $ (df) / (dx) = (df) / (d(ax)) (d(ax)) / (dx) = (df) / (d(ax)) a $ e quindi $ (df) / (d(ax)) = 1/a (df) / (dx) $. Se però interpreto $ (df) / (d(ax)) $ come la derivazione di $ f $ lungo la direzione indicata dal vettore $ ul(v) = a hat(ul(x)) $, con $ hat(ul(x)) $ versore per l'asse $ x $, ho una derivata direzionale pari a $ D_v f = grad f \cdot (ul(v)/||ul(v)||) = (df) / (dx) $. Questo però mi pare alquanto strano, visto che la derivata direzionale mi è stata presentata come una generalizzazione della derivata ordinaria per singola variabile. Potete chiarirmi qual'è il legame tra le due? Grazie in anticipo.
Risposte
C'è qualcuno che diffonde questa convenzione secondo cui le derivate direzionali si fanno solo rispetto a vettori di norma unitaria, e il risultato è che uno si può confondere come sta succedendo a te. Questa convenzione non mi piace perché una grossa parte della geometria differenziale si basa proprio sull'interpretazione tra vettori e derivazioni che stai ritrovando tu qui, e che va gambe all'aria se uno si restringe ai vettori di norma unitaria. Anzi, questa interpretazione arriva PRIMA del concetto stesso di "norma".
Meglio considerare $D_v f $ come il limite del rapporto incrementale:
\[
D_v f(x)= \lim_{h\to 0} \frac{ f(x+hv)-f(x)}{h} = \left.\frac{d}{dh} f(x+hv)\right|_{h=0},\]
senza nessuna richiesta su $v$, neanche che sia non nullo. La regola del gradiente continua a valere:
\[
D_v f(x)=\nabla f(x)\cdot v, \]
con le opportune ipotesi di regolarità.
In questo modo, $D_v$ è lineare in $v$:
\[
D_{\alpha v + \beta w}=\alpha D_v+\beta D_w,\]
e il tuo dubbio dovrebbe scomparire.
Meglio considerare $D_v f $ come il limite del rapporto incrementale:
\[
D_v f(x)= \lim_{h\to 0} \frac{ f(x+hv)-f(x)}{h} = \left.\frac{d}{dh} f(x+hv)\right|_{h=0},\]
senza nessuna richiesta su $v$, neanche che sia non nullo. La regola del gradiente continua a valere:
\[
D_v f(x)=\nabla f(x)\cdot v, \]
con le opportune ipotesi di regolarità.
In questo modo, $D_v$ è lineare in $v$:
\[
D_{\alpha v + \beta w}=\alpha D_v+\beta D_w,\]
e il tuo dubbio dovrebbe scomparire.
Innanzitutto grazie per la risposta. C'è però ancora qualcosa che non mi torna. Applicando ora la regola del gradiente con un vettore non più normalizzato, ossia direttamente $ ul(v) = a hat(ul(x)) $, adesso ottengo $ D_v f = a (df) / (dx) $ e non $ 1/a (df) / (dx) $ come mi aspettavo dalla derivazione ordinaria. Dove sbaglio?
Semplicemente stai mischiando due convenzioni diverse, come capita quando si fanno calcoli formali con la notazione di Leibniz. Scrivere \(\frac{df}{dx}\) NON è compatibile con la notazione \(D_v f\) per le derivate direzionali, e ti porta a queste incongruenze. Scegli una delle notazioni e usa solo quella, non mischiarle.
Grazie mille. Adesso è chiaro.
Rileggendo mi sono accorto che occorre una precisazione:
Non voglio dire che devi scegliere una notazione e usare quella *per tutta la tua vita*. Dico invece di non usare le due notazioni nel corso dello stesso calcolo, perché altrimenti le incongruenze possono portare a errori.
"dissonance":
Scegli una delle notazioni e usa solo quella, non mischiarle.
Non voglio dire che devi scegliere una notazione e usare quella *per tutta la tua vita*. Dico invece di non usare le due notazioni nel corso dello stesso calcolo, perché altrimenti le incongruenze possono portare a errori.
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