Derivata direzionale differenziabilità e retta tangente
Vorrei un suggerimento su come procedere poichè essendo poco ferrato su questo argomento vorrei anche solo un input per poter cosi completare i tre seguenti esercizi:
1) sia $f(x,y)$ definita nell'aperto A del piano,sia $(x_0,y_0)$ appartente ad A tale che il $grad(x_0,y_0)=(0,1)$,e supponiamo che $(df(x_0,y_0)/(dlambda))=1$ dove $lambda=(1/sqrt2;-1/sqrt2)$. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false,motivando le risposte:
a)f non è differenziabile in $(x_0,y_0)$
b) non si può dire se f è differenziabile in $(x_0,y_0)$
c)f ammettere derivata direzionale in $(x_0,y_0)$ nella direzione $lambda=(sqrt3/2;1/2)$
2)sia f di classe C' in $R^2$ tale che $f(3,0)=3$ e $gradf(3,0)=(2,4)$. Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione $g(x)=f(x^2+2,logx)$ nel punto di ascissa 1
l'altro invece è $f(x,y)=(sen(x^2-xy))/|x|^a)$ per $xne0$ vale 0 viceversa e mi chiede di vedere per quali valori di a la funzione è continua nei punti dell'asse y..quindi ho provato a fare $lim_(x->0) f(x,y)=0$ ma non ricavo nulla
attendo un vostro aiutino grazie
1) sia $f(x,y)$ definita nell'aperto A del piano,sia $(x_0,y_0)$ appartente ad A tale che il $grad(x_0,y_0)=(0,1)$,e supponiamo che $(df(x_0,y_0)/(dlambda))=1$ dove $lambda=(1/sqrt2;-1/sqrt2)$. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false,motivando le risposte:
a)f non è differenziabile in $(x_0,y_0)$
b) non si può dire se f è differenziabile in $(x_0,y_0)$
c)f ammettere derivata direzionale in $(x_0,y_0)$ nella direzione $lambda=(sqrt3/2;1/2)$
2)sia f di classe C' in $R^2$ tale che $f(3,0)=3$ e $gradf(3,0)=(2,4)$. Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione $g(x)=f(x^2+2,logx)$ nel punto di ascissa 1
l'altro invece è $f(x,y)=(sen(x^2-xy))/|x|^a)$ per $xne0$ vale 0 viceversa e mi chiede di vedere per quali valori di a la funzione è continua nei punti dell'asse y..quindi ho provato a fare $lim_(x->0) f(x,y)=0$ ma non ricavo nulla
attendo un vostro aiutino grazie
Risposte
I punto) In breve, ha una funzione definita in un aperto di $\mathbb{R}^2$ derivabile in certa direzione in un certo punto: puoi concludere che essa soddisfa altre proprietà?
Non dovrebbe essere differenziabile in $(x_0, y_0)$, perché se fosse differenziabile il prodotto scalare tra il vettore gradiente in $(x_0,y_0)$ e il versore della direzione dovrebbe dare come risultato la derivata direzionale. O sbaglio?
No, infatti ho risolto ieri,perché come affermato da voi se fosse differenziabile il prodotto scalare nel punto tra il gradiente e la derivata direzionale dovrebbe dare 1 mentre viene $-1/sqrt2$ ..ma per il punto C) non so come procedere..la soluzione è falso e dice di fare un esempio con qualche funzione che soddisfi l'ipotesi ma proprio non riesco a scriverla..
per il secondo esercizio ho risolto $lim_(x->0) f(x,y)=0$ e ho risolto con la maggiorazione infatti
$0<=(|sen(x^2-xy)|/(|x|^a))<=|x^2-xy||/(|x|^a)=(|x|^(1-a)|x-y|$ da cui mi ricavo che $a>1$ e per $x->0$ la funzione è infinitesima!!
per il secondo esercizio ho risolto $lim_(x->0) f(x,y)=0$ e ho risolto con la maggiorazione infatti
$0<=(|sen(x^2-xy)|/(|x|^a))<=|x^2-xy||/(|x|^a)=(|x|^(1-a)|x-y|$ da cui mi ricavo che $a>1$ e per $x->0$ la funzione è infinitesima!!
"Simonkb24":Più che altro il prodotto scalare tra il gradiente ed i dati numeri direttori è [tex]$-\frac{1}{\sqrt{2}}$[/tex].
...se fosse differenziabile il prodotto scalare nel punto tra il gradiente e la derivata direzionale dovrebbe dare 1 mentre viene $-1/sqrt2$...
Sul punto C non puoi esprimerti in quanto mancano informazioni! Euliricamente puoi calcolare il valore atteso, ma non puoi dire che la derivata direzionale esiste!
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