Derivata direzionale di una funzione per tratti

[francescoipp]

Salve, ho la seguente funzione:

$ f(x,y)={ ( (y^2cosx)/ sqrt(x^2+y^2) se (x,y) != (0,0)),( 0 se (x,y) = (0, 0) ):} $

E mi chiede di calcolare la derivata direzionale in $ (0, 0) $ lungo $ v=(1/sqrt2, 1/sqrt2) $ . Innanzitutto ho stabilito che $ f $ è continua in $ (0, 0) $, secondo la definizione. Ma per calcolare la derivata direzionale che procedimento devo usare? Devo usare la definizione oppure uguagliare il limite sinistro e destro?

[ciampax]

A meno che tu non dimostri che $f$ è differenziabile, devi usare la definizione. Se invece dimostri questa cosa, puoi usare la formula del gradiente. (Ma il "limite sinistro e destro" di che?)

[francescoipp]

Quindi la derivata direzionale in quel punto vale $ 1/2 $?

[ciampax]

A me pare che non esista:
$$\lim_{t\to 0}\frac{f(t/\sqrt{2},t/\sqrt{2})-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\cdot\frac{t^2/2\cdot\cos(t/\sqrt{2})}{\sqrt{t^2/2+t^2/2}}=\lim_{t\to 0}\frac{t^2}{2t\sqrt{t^2}}=\lim_{t\to 0}\frac{t^2}{2t|t|}=\pm\frac{1}{2}$$
a seconda che $t\to 0^{\pm}$.

[francescoipp]

E se la funzione fosse:

$ f(x,y)={ ( (|y^2|cosx)/ sqrt(x^2+y^2) se (x,y) != (0,0)),( 0 se (x,y) = (0, 0) ):} $

sarebbe non derivabile lo stesso in quel punto, visto che il limite è $ +- 1/2 $ ?

[ciampax]

E' uguale a quella di prima, visto che $|y^2|=|y|^2=y^2$