Derivata direzionale (definizione)
Buongiorno, posto una domanda che mi è sorta nello studio e vi ringrazio per eventuali chiarimenti.
Il mio libro definisce la derivata direzionale di f(x,y) come il limite se esiste:
$lim_(t->0) (f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y))/t$
Mi chiedevo, ma sarebbe anche possibile definirla come
$lim_((h,k)->(0,0)) (f(x+h,y+k)-f(x,y))/(\sqrt(h^2+k^2))$
A logica mi verrebbe di dire di sì, infatti potrei intendere $tv_1=h$ sarebbe identico
PS: ho messo due variabili per comodità di scrittura, con ovvia possibilità di estensione.
Grazie!
Il mio libro definisce la derivata direzionale di f(x,y) come il limite se esiste:
$lim_(t->0) (f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y))/t$
Mi chiedevo, ma sarebbe anche possibile definirla come
$lim_((h,k)->(0,0)) (f(x+h,y+k)-f(x,y))/(\sqrt(h^2+k^2))$
A logica mi verrebbe di dire di sì, infatti potrei intendere $tv_1=h$ sarebbe identico
PS: ho messo due variabili per comodità di scrittura, con ovvia possibilità di estensione.
Grazie!
Risposte
No, nella prima definizione stai considerando il limite in una variabile della funzione $f(t)$, ossia la tua funzione originaria f(x,y) valutata lungo la direzione su cui vuoi fare la derivata, nella seconda definizione stai facendo una derivata lungo una generica direzione (h,k), quindi l'esistenza del limite non ti dice che la funzione è derivabile lungo una specifica direzione, ma ti dice che è derivabile in ogni direzione.
p.s. inoltre hai sbagliato a scrivere la prma definizione
p.s. inoltre hai sbagliato a scrivere la prma definizione
Hem hai ragione, ho sbagliato per un refuso, correggo 
Sai che non reisco a cogliere la differenza caspita, non riesco a figurarmelo in sostanza eppure ho già letto tutto il capitolo dedicato sul libro, non capisco come fare!
Se immagino h e k come t*v1 e t*v2 rispettivamente mi pare giunga alla stessa conclusione
Ringrazio
Sai che non reisco a cogliere la differenza caspita, non riesco a figurarmelo in sostanza eppure ho già letto tutto il capitolo dedicato sul libro, non capisco come fare!
Se immagino h e k come t*v1 e t*v2 rispettivamente mi pare giunga alla stessa conclusione
Ringrazio
Forse ci sono, o meglio il dubbio mi era nato studiando il differenziale perché la definizione di differenziale è riscrivibile come $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+A(h,k)+o(\sqrt(h^2+k^2))$ e potrei scriverlo con la nozione di limite in due variabili simile a quanto sopra, così mi dicevo beh anche la nozione di derivata si potrà scrivere così.
L'errore nasce qui, in più dimensioni il differenziale è diverso che in una e infatti la differenziabilità mi garantisce l'esistenza di derivate in tutte le direzioni proprio grazie a quel limite, potrebbe essere giusto ciò che dico ora?
L'errore nasce qui, in più dimensioni il differenziale è diverso che in una e infatti la differenziabilità mi garantisce l'esistenza di derivate in tutte le direzioni proprio grazie a quel limite, potrebbe essere giusto ciò che dico ora?
Se immagino h e k come t*v1 e t*v2 rispettivamente mi pare giunga alla stessa conclusione
No perché v1 e v2 sono note, la variabile è t, se tu poni h=tv1 e k=tv2 stai usando 2 variabili h e k, quando la variabile è solo una, ossia h e k non sono indipendenti, se h=tv1 e k=tv2, allora $k=h(v_2)/v_1$, quindi ti basta far tendere solo h a zero, e ti ricondici alla prima definizione.
l'errore nasce qui, in più dimensioni il differenziale è diverso che in una e infatti la differenziabilità mi garantisce l'esistenza di derivate in tutte le direzioni proprio grazie a quel limite, potrebbe essere giusto ciò che dico ora?
Si giusto
Grazie un'ultima cosa.
Per il concetto di differenziale so che: $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=A(h,k)+o(\sqrt(h^2+k^2))$, mi chiedevo, se volessi applicare questa "propietà" al caso in cui h=t*v1 e k=t*v2 posso srivere $f(x_0+tv_1,y_0+t_v2)-f(x_0,y_0)=A(tv_1,tv_2)+o(tv_1,t_v2)$ o un qualcosa del genere? (nel caso esista da formalizzare meglio credo
)
Insomma ridurre la definizione più generale di differenziale al caso h e k siano dipendenti da un patametro t?
Per il concetto di differenziale so che: $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=A(h,k)+o(\sqrt(h^2+k^2))$, mi chiedevo, se volessi applicare questa "propietà" al caso in cui h=t*v1 e k=t*v2 posso srivere $f(x_0+tv_1,y_0+t_v2)-f(x_0,y_0)=A(tv_1,tv_2)+o(tv_1,t_v2)$ o un qualcosa del genere? (nel caso esista da formalizzare meglio credo
)Insomma ridurre la definizione più generale di differenziale al caso h e k siano dipendenti da un patametro t?
Nel caso di derivata direzionale siamo in presenza di una derivata normale, basta porre:
$phi(t)=f(x_0+tv_1, y_0+tv_2)$
Quindi f si dice derivabile in $(x_0, y_0)$ lungo la direzione $(v_1, v_2)$ se la funzione $phi(t)$ è derivabile in t=0, ossia se esiste:
$lim_(t->0) (phi(t)-phi(0))/t=phi'(0)$
quindi:
$phi(t)=phi(0)+tphi'(0)+o(t)$
Che è la formula che cerchi
$phi(t)=f(x_0+tv_1, y_0+tv_2)$
Quindi f si dice derivabile in $(x_0, y_0)$ lungo la direzione $(v_1, v_2)$ se la funzione $phi(t)$ è derivabile in t=0, ossia se esiste:
$lim_(t->0) (phi(t)-phi(0))/t=phi'(0)$
quindi:
$phi(t)=phi(0)+tphi'(0)+o(t)$
Che è la formula che cerchi
Grazie mille!
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