Derivata direzionale - criterio diretto di Lyapunov
Ciao, ho un problemone, devo applicare il criterio 'diretto' di Lyapunov per la stabilità di un sistema non lineare tempo continuo.
Nello specifico il sistema è:
$ {(dot(x_1)=x_2),(dot(x_2)=alphax_2-x_1-x_2^3):} $
Devo linearizzare A nell'intorno del punto di equilibrio (0,0), qui semplicemente devo calcolare il gradiente e sostituire le coordinate del punto. Ottengo:
$ A=[ ( 0 , 1 ),( -1 , alpha ) ] $
Ora valuto la stabilità col criterio ridotto di Lyapunov
(calcolo il segno degli autovalori di A al variare di alfa), scoprio che per:
$ alpha>0 $ il sistema è instabile (perchè ha autovalori a parte reale positiva)
$ alpha<0$ il sistema è stabile (perchè ha autovalori a parte reale negativa)
se tuttavia $alpha=0$ il criterio ridotto non mi da risposta (autovalori sull'asse immaginario), e qui iniziano i miei problemi.
Per questo caso devo applicare il criterio 'diretto', ho la funzione $V(x)=x_1^2+x_2^2$ definita positiva in un intorno di (0,0)
ora con il criterio devo verificare che:
$dot(V) $sia definita negativa in un intorno del punto.
Il mio problema è che non so calcolare $dot(V) $ (dovrebbe essere la deivata direzionale del sistema)
La soluzione è $ 2x_1x_2+2x_2(-x_1-x_2^3) = -2x_2^4<=0 $
ma non ho idea di come sia stata calcolata (praticamente), mi servirebbe un metodo 'pratico' dato che ho l'esame l'11/2
Nello specifico il sistema è:
$ {(dot(x_1)=x_2),(dot(x_2)=alphax_2-x_1-x_2^3):} $
Devo linearizzare A nell'intorno del punto di equilibrio (0,0), qui semplicemente devo calcolare il gradiente e sostituire le coordinate del punto. Ottengo:
$ A=[ ( 0 , 1 ),( -1 , alpha ) ] $
Ora valuto la stabilità col criterio ridotto di Lyapunov
(calcolo il segno degli autovalori di A al variare di alfa), scoprio che per:
$ alpha>0 $ il sistema è instabile (perchè ha autovalori a parte reale positiva)
$ alpha<0$ il sistema è stabile (perchè ha autovalori a parte reale negativa)
se tuttavia $alpha=0$ il criterio ridotto non mi da risposta (autovalori sull'asse immaginario), e qui iniziano i miei problemi.
Per questo caso devo applicare il criterio 'diretto', ho la funzione $V(x)=x_1^2+x_2^2$ definita positiva in un intorno di (0,0)
ora con il criterio devo verificare che:
$dot(V) $sia definita negativa in un intorno del punto.
Il mio problema è che non so calcolare $dot(V) $ (dovrebbe essere la deivata direzionale del sistema)
La soluzione è $ 2x_1x_2+2x_2(-x_1-x_2^3) = -2x_2^4<=0 $
ma non ho idea di come sia stata calcolata (praticamente), mi servirebbe un metodo 'pratico' dato che ho l'esame l'11/2
Risposte
Usando l'equazione nell'ultimo passaggio, hai che
\[
\dot{V} = \nabla V \cdot \dot{x} = (2x_1, 2x_2) \cdot(\dot{x}_1, \dot{x}_2) =
(2x_1, 2x_2) \cdot ( x_2, -x_1 - x_2^3).
\]
\[
\dot{V} = \nabla V \cdot \dot{x} = (2x_1, 2x_2) \cdot(\dot{x}_1, \dot{x}_2) =
(2x_1, 2x_2) \cdot ( x_2, -x_1 - x_2^3).
\]
Grazie 1000 per la risposta,
Per chiarire, il prodotto è un prodotto riga per colonna, vero?
$ [ a \ \ b ] dot() [ ( c ),( d ) ] = ac+bd $
edit:
Mi rispondo da solo: sì
Grazie ancora
ri-edit (per completezza finisco l'esercizio):
poichè $ dot(V) $ è semi-definita negativa fin qui posso dire che il sistema è stabile (non asintoticamente) in un intorno di $ (0,0) $
Posso verificare la asintotica stabilità col criterio di La Salle-Krasowsky quindi.
poichè $ dot(V) = 0 hArr x_2=0 $
ovvero non esistono traiettorie perturbate stabili nell'intorno del punto di lavoro.
Pertanto il sistema, nell'intorno del punto di lavoro è ASINTOTICAMENTE STABILE
Per chiarire, il prodotto è un prodotto riga per colonna, vero?
$ [ a \ \ b ] dot() [ ( c ),( d ) ] = ac+bd $
edit:
Mi rispondo da solo: sì
Grazie ancora
ri-edit (per completezza finisco l'esercizio):
poichè $ dot(V) $ è semi-definita negativa fin qui posso dire che il sistema è stabile (non asintoticamente) in un intorno di $ (0,0) $
Posso verificare la asintotica stabilità col criterio di La Salle-Krasowsky quindi.
poichè $ dot(V) = 0 hArr x_2=0 $
ovvero non esistono traiettorie perturbate stabili nell'intorno del punto di lavoro.
Pertanto il sistema, nell'intorno del punto di lavoro è ASINTOTICAMENTE STABILE
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