Derivata direzionale con gradiente nullo

[francescoipp]

Salve, la traccia di un esercizio mi dice di calcolare dapprima la derivata direzionale di $ h(x, y)=1+root(3)((x-1)y^2) $ in $ (1, 0) $ e lungo la direzione $ w=(2/sqrt(5), 1/sqrt(5)) $ secondo la definizione, e poi di verificare che questo risultato si possa ottenere anche mediante la regola del gradiente.

Applicando la definizione di derivata direzionale, devo calcolare il seguente limite:

$ lim_(t -> 0) (h(1+t2/sqrt(5),0+t1/sqrt(5))-h(1, 0))/t $

che, stando ai calcoli è uguale a $ root(3)(2/(5sqrt(5))) $ .

Applicando però la regola del gradiente, che ci dice che:

$ (partial h)/(partial w) (1, 0)=grad h*w=(0,0)*(2/sqrt5, 1/sqrt5)=0 $

Quindi ottengo due risultati diversi tra definizione e regola del gradiente. Credo di aver fatto un errore nel calcolo del limite iniziale... Ma dove?

[ciampax]

Ti faccio presente che il gradiente di $h$ non esiste in quel punto, visto che la funzione non è derivabile.

[francescoipp]

Ma in $ (1, 0) $ applicando la definizione, le derivate parziali non sono entrambe uguali a zero?

[ciampax]

Sì, scusa, avevo letto $y$ e non $y^2$ e non mi tornava la derivata parziale rispetto ad $x$.
In realtà la funzione non è differenziabile in quel punto, e questo implica che non puoi calcolare la derivata direzionale con il gradiente. Infatti
$$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h+1,k)-f(1,0)-f_x(1,0) h-f_y(1,0) k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{h^{1/3} k^{2/3}}{\sqrt{h^2+k^2}}$$
e passando a coordinate polari puoi vedere che il limite non è uniforme per $\rho\to 0$.

[francescoipp]

Ma attraverso la definizione di derivata direzionale posso calcolare il limite?

[ciampax]

Sì, quello sì. Il teorema che assicura che le derivate direzionali si possono calcolare con il gradiente richiede la differenziabilità della funzione. Pertanto il fatto che con il gradiente ti venga un risultato sballato è dovuto alla non differenziabilità di $f$.