Derivata direzionale

[DDL92]

Ho questa funzione: $f(x,y)=y^4e^(3x)$ e mi viene chiesto di determinare per quale direzione $lambda$ la derivata direzionale in $(0,-1)$ è massima, e in quale è minima.
Calcolando la derivata direzionale, come prodotto scalare tra gradiente e direzione (indicandola con un vettore generico $(alpha,beta)$, mi viene $3alpha -4beta$.
Ho pensato di applicare il significato geometrico di gradiente, che fornisce la pendenza massima del grafico nel caso in cui la funzione sia differenziabile nel punto e a gradiente non nullo.
Dovrebbe avere pendenza massima quando gradiente e direzione hanno stessa direzione e verso, pendenza minima quando sono perpendicolari.
Come ragionamenti possono andare, o sto sbagliando qualcosa?

[DDL92]

Nessuni?

[87527]

Il ragionamento è giusto, se gradiente e il vettore (a,b) hanno la stessa direzione allora la derivata direzionale è massima...invece nulla se il gradiente e (a,b) sono perpendicolari. Poi per risolvero devi solo imporre le condizioni di parallelismo nel primo caso e di perpendicolarità nel secondo

[DDL92]

Ovvero pongo che il coseno dell'angolo tra essi compreso valga 1 quando hanno stessa direzione, e 0 quando sono perpendicolari. Ok. E metto a sistema queste due condizioni con l'imposizione $|lambda|=1$ ?

[87527]

esatto. comunque c'è un inganno stupidissimo: stavo pensando che il modulo della derivata direzionale è minimo se i vettori sono perpendicolari MA il valore della derivata direzionale è minimo se il coseno vale -1!!! il fatto è che in quasi tutti questi esercizi ti chiede per quali valori si annulla la derivata e ti ho risposto in modo un po' meccanico. Quindi attenzione che la direzione in cui la derivata è minima si ha con cos=-1 ovvero se gradiente e il vettore hanno stessa direzione ma verso opposto