Derivata direzionale

[Sk_Anonymous]

Devo calcolare la derivata direzionale di:

$f(x,y)=e^x*cos(y)$

nel punto a=(0,0)
e nella direzione u=i+2j

Mi rendo conto non sia un esercizio difficile, ma provando a fare la verifica con i limiti ottengo 0 e non riesco a capire cosa ho sbagliato

io l'ho svolto così:

$g(t)=f(bar(a)+tbar(u))=e^(tbar(i))*cos(2tbar(j))$
$g'(t)=bar(i)e^(tbar(i))*cos(2tbar(j))-2bar(j)*e^(tbar(i))*sen(2tbar(j))$
$g'(0)=bar(i)$

Sapreste darmi un consiglio?
grazie

[_Tipper]

La direzione di $u$ è $\bar{u} = \frac{(1,2)}{||(1,2)||} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$. Pertanto l'incremento nella direzione di $u$ è

$f((x,y) + t \bar{u}) = (x + \frac{t}{\sqrt{5}}, y + \frac{2t}{\sqrt{5}}) = e^{x + \frac{t}{\sqrt{5}}} \cos(y + \frac{2t}{\sqrt{5}})$

Calcolando 'sta roba in $(x,y) = (0,0)$ si ottiene

$f((0,0) + t \bar{u}) = f(\frac{t}{\sqrt{5}}, \frac{2t}{\sqrt{5}}) = e^{\frac{t}{\sqrt{5}}} \cos(\frac{2t}{\sqrt{5}})$

Dato che $f(0,0) = 1$ allora la derivata direzionale richiesta è

$\lim_{t \to 0} \frac{e^{\frac{t}{\sqrt{5}}} \cos(\frac{2t}{\sqrt{5}}) - 1}{t}$

[franced]

Si può utilizzare anche il gradiente e fare il prodotto scalare con il versore.

Francesco Daddi

[gugo82]

"yavanna":Devo calcolare la derivata direzionale di:

$f(x,y)=e^x*cos(y)$

nel punto a=(0,0)
e nella direzione u=i+2j

Mi rendo conto non sia un esercizio difficile, ma provando a fare la verifica con i limiti ottengo 0 e non riesco a capire cosa ho sbagliato

io l'ho svolto così:

$g(t)=f(bar(a)+tbar(u))=e^(tbar(i))*cos(2tbar(j))$
$g'(t)=bar(i)e^(tbar(i))*cos(2tbar(j))-2bar(j)*e^(tbar(i))*sen(2tbar(j))$
$g'(0)=bar(i)$

Sapreste darmi un consiglio?
grazie

Se ricordi il Teorema del Differenziale, puoi subito affermare che la tua $f$ è differenziabile ovunque nel suo insieme di definizione: infatti essa ha le derivate parziali prime continue in $RR^2$ e ciò, per il suddetto teorema, garantisce la differenziabilità. La differenziabilità ti garantisce pure l'esistenza di tutte le drivate direzionali in ogni punto del piano, quindi il tuo problema ha soluzione.
Ancora, usando una simpatica proposizioncella, la derivata direzionale lungo la direzione $u=i+2j$ nel punto $(0,0)$ la puoi trovare facendo il prodotto scalare tra il $"grad" f(0,0)$ e la direzione $u$: essendo $"grad" f(x,y)=(e^xcosy)*i-(e^xsiny)*j$, hai:

$(\partial f)/(\partial u)(0,0)= <"grad" f(0,0),u> = = +2 =|i|^2=1$

(qui $$ denota il prodotto scalare dei due vettori $a,b in RR^2$).

I conti che hai fatto li hai sbagliati in un punto: nelle equazioni parametriche scalari della retta non devono essere presenti vettori, ma solo scalari!
Spiego meglio. L'equaziona parametrica vettoriale della retta che passa per $a$ ed ha direzione $u$ è $(x,y)=a+t*u$ ed è equivalente alla coppia di equazioni scalari:

$\{ (x=a_1+t*u_1),(y=a_2+t*u_2):}$

ove $a_1,a_2 in RR$ sono le coordinate di $a$ e $u_1,u_2 in RR$ le componenti scalari di $u$ lungo gli assi (cioè $u=u_1*i+u_2*j$), quindi nel tuo caso troveresti:

$\{(x=0+t*1),(y=0+t*2):} quad $ ossia $quad \{(x=t),(y=2t):}$.

Prova a sostituire $x=t,y=2t$ nell'espressione di $f(x,y)$ e rifai i conti: vedrai che troverai il mio stesso risultato (ammesso che io non abbia sbagliato i conti da qualche parte! ).