Derivata direzionale

[Meringolo1]

Salve a tutti, mi trovo a dover dimostrare l'esistenza o meno della derivata direzionale per

$f(xy)=(2x^2y)/(x^4+y^2)$, sapendo che $f(0,0)=(0,0)$

quello che faccio è impostare il limite

$lim _{t->0} (f(0+tv_1, 0+tv_2)-f(0,0))/t$

ossia

$lim_{t->0} 1/t(2t^3v_1^2v_2)/(t^2(t^2v_1^4+v_2))$


$=lim_{t->0} (2v_1^2v_2)/(t^2(v_1^4+v_2))$

da qua posso dire che il limite non esiste finito e quindi la funzione non ammette derivate direzionali $(\partial f)/(\partialv) (0,0)$ per ogni $v$ in $RR^2$?

è corretto dire così?

[Luca.Lussardi]

In che direzione? di derivate direzionali ce ne sono tante.... forse intendi tutte?

[Meringolo1]

chiedo scusa, ho inviato il messaggio quando ancora non avevo finito di scrivere.
Sì, l'esercizio chiede l'esistenza per ogni direzione.

[Luca.Lussardi]

Occhio, c'e' un errore di algebra nell'ultima uguaglianza mi sa...

[Meringolo1]

Si, infatti ho scritto

$lim _{t->0} (2v_1^2v_2)/(t^2(v_1^4+v_2))$

Invece di

$lim _{t->0} (2v_1^2v_2)/(t^2v_1^4+v_2)$

In ogni modo il limite diverge comunque e non so se basta per dire che non esistono derivate direzionali per ogni $v$

[Meringolo1]

Il limite non diverge ma vale $2v_1^2$ , quindi posso affermare che le derivate direzionali esistono per ogni direzione $v$.

Ps...mi sa che mi sono mangiato un quadrato al denominatore ma non dovrebbe influire sul risultato