Derivata Direzionale
Chi mi può aiutare con questo esercizio?
Data la funzione f(x,y)= x^3+x^2+4xy^2+2y^2 determinare la retta passante per il punto P=(1,1) lungo la quale la crescita di f(x,y) è massima.
Utilizzando la formula del gradiente ho ottenuto il gradiente della funzione passante per (1,1) ma non so come continuare per determinare la retta richiesta.
Data la funzione f(x,y)= x^3+x^2+4xy^2+2y^2 determinare la retta passante per il punto P=(1,1) lungo la quale la crescita di f(x,y) è massima.
Utilizzando la formula del gradiente ho ottenuto il gradiente della funzione passante per (1,1) ma non so come continuare per determinare la retta richiesta.
Risposte
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Il [regolamento]3_4[/regolamento] richiede di aspettare almeno 24 ore prima di sollecitare risposte. Sarebbe anche opportuno che cominciassi a dare un'occhiata a come si inseriscono le [formule][/formule].
Detto questo, hai la funzione \(f(x,y)= x^3+x^2+4xy^2+2y^2\) e vuoi trovare la direzione di crescita massima.
Per la direzione \(\displaystyle \mathbf{v}_{\vartheta} = (\cos\vartheta,\sin\vartheta)\in \mathbb{S}^1 \) hai che \( \nabla_{\mathbf{v}_{\vartheta}}f = \langle \nabla f, \mathbf{v}_{\vartheta} \rangle \) che è una funzione in una sola variabile reale.
Supponiamo che \(\nabla f = (a,b) \), allora \( g(\vartheta) = \nabla_{\mathbf{v}_{\vartheta}}f = a\cos\vartheta + b\sin\vartheta\). Inoltre \(\displaystyle \frac{dg}{d\vartheta} = -a\sin\vartheta + b\cos\vartheta \). Pertanto
\begin{align*}\frac{dg}{d\vartheta} &= 0 \\
-a\sin\vartheta + b\cos\vartheta &= 0 \\
b\cos\vartheta &= a\sin\vartheta \\
\frac{b}{a} &= \tan\vartheta \; . \end{align*} Il risultato potrebbe non dirti molto scritto così, ma se ora scrivi \(\displaystyle \nabla f = (a,b) = (r\cos\tau, r\sin\tau) \) allora l'equazione appena trovata diventa \( \tan\tau = \tan\vartheta \) diventando molto più semplice da interpretare
.
Detto questo, hai la funzione \(f(x,y)= x^3+x^2+4xy^2+2y^2\) e vuoi trovare la direzione di crescita massima.
Per la direzione \(\displaystyle \mathbf{v}_{\vartheta} = (\cos\vartheta,\sin\vartheta)\in \mathbb{S}^1 \) hai che \( \nabla_{\mathbf{v}_{\vartheta}}f = \langle \nabla f, \mathbf{v}_{\vartheta} \rangle \) che è una funzione in una sola variabile reale.
Supponiamo che \(\nabla f = (a,b) \), allora \( g(\vartheta) = \nabla_{\mathbf{v}_{\vartheta}}f = a\cos\vartheta + b\sin\vartheta\). Inoltre \(\displaystyle \frac{dg}{d\vartheta} = -a\sin\vartheta + b\cos\vartheta \). Pertanto
\begin{align*}\frac{dg}{d\vartheta} &= 0 \\
-a\sin\vartheta + b\cos\vartheta &= 0 \\
b\cos\vartheta &= a\sin\vartheta \\
\frac{b}{a} &= \tan\vartheta \; . \end{align*} Il risultato potrebbe non dirti molto scritto così, ma se ora scrivi \(\displaystyle \nabla f = (a,b) = (r\cos\tau, r\sin\tau) \) allora l'equazione appena trovata diventa \( \tan\tau = \tan\vartheta \) diventando molto più semplice da interpretare
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Hai ragione,scusami.
Comunque per quanto riguarda l'esercizio non mi è chiara l'ultima cosa che hai detto ovvero di scrivere il gradiente nella forma $ ∇f=(a,b)=(rcosτ,rsinτ) $.
Da quanto ho capito bisogna semplicemente calcolare il gradiente nel punto dato ottenendo $ ∇f=(a,b) $ dove $ a,b $ sono numeri.
Poi, per le ragioni che hai mostrato teoricamente, porre $ b/a = tanθ $ ricavandosi, quindi,$ θ $ e andandolo a sostituire in $ v=(cosϑ,sinϑ) $. Questo vettore è la direzione richiesta.
Opero in modo corretto?
Grazie per l'aiuto
Comunque per quanto riguarda l'esercizio non mi è chiara l'ultima cosa che hai detto ovvero di scrivere il gradiente nella forma $ ∇f=(a,b)=(rcosτ,rsinτ) $.
Da quanto ho capito bisogna semplicemente calcolare il gradiente nel punto dato ottenendo $ ∇f=(a,b) $ dove $ a,b $ sono numeri.
Poi, per le ragioni che hai mostrato teoricamente, porre $ b/a = tanθ $ ricavandosi, quindi,$ θ $ e andandolo a sostituire in $ v=(cosϑ,sinϑ) $. Questo vettore è la direzione richiesta.
Opero in modo corretto?
Grazie per l'aiuto
Quello che intendevo dire è che il vettore definito dal gradiente insieme alla sua direzione opposta sono le direzioni di maggiore crescita (in valore assoluto). Ho solo dimostrato questo fatto usando i metodi dei primi corsi di analisi.
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