Derivata direzionale

[laurascara1]

Salve ragazzi. Volevo chiedere un chiarimento su un esercizio.
Calcolare la derivata direzionale della funzione
$f(x,y)=x^y+2x$
$ D_f={(x,y) in RR^2 | x>0}$
Nel punto $P=(2,1)$ lungo la direzione individuata dalla retta $y=2x+1$ percorsa nel verso delle x crescenti.
Come faccio a trovare il vettore?

[dan952]

[Bisogna trovare il vettore direttore della retta.
Prendi due punti della retta $M=(x_0,2x_0-1)$ e $N=(x_1,2x_1-1)$, con $x_1>x_0$, $vec(v)=N-M=(x_1-x_0,2(x_1-x_0))$ sarà il nostro vettore non normalizzato. Normalizzando :
$hat(v)=\frac{N-M}{||N-M||}=(\sqrt{5}/5,2\sqrt{5}/5)$

[laurascara1]

Non ho capito come fa a venirti radice di 5

[dan952]

$\frac{N-M}{||N-M||}=(x_1-x_0,2(x_1-x_0))\frac{1}{\sqrt{(x_1-x_0)^2+4(x_1-x_0)^2}}=(x_1-x_0,2(x_1-x_0))\frac{1}{|x_1-x_0|\sqrt{1+4}}=(x_1-x_0,2(x_1-x_0))\frac{1}{|x_1-x_0|\sqrt{5}}=(1/\sqrt(5),2/\sqrt(5))$

[laurascara1]

Ok ho un ultimo dubbio. Come hai scelto i punti della retta?

[dan952]

Puoi prendere due punti qualsiasi della retta a patto che rispetti il verso crescente delle $x$, cioè la prima componente del vettore direttore ($x_1-x_0$) deve essere positiva.