Derivata direzionale
Ho un problema con questo esercizio
Si calcoli la derivata della funzione $f(x,y,z)$ in direzione del vettore $X_a=(1,0,-3)$, dove $a = (1,1,0)$ si verifichi che:
$X_af=d/dt|_(t=0)(f(atX_a))$
La seconda parte della consegna non riesco a capire cosa devo fare...
Normalizzo il vettore: $((1,0,-3))/sqrt(10)$
Calcolo la derivata in direzione del vettore $X_a$
$lim_(t -> 0) (f(x+1/sqrt(10)t,y,z-3/sqrt(10)t)-f(x,y,z))/t=$
$lim_(t -> 0) ((x^2+1/sqrt(10)t)y(z-3/sqrt(10)t)-x^2yz)/t=$
$=(-sqrt10x(3x-2z)y)/10$
Poi? Ho pensato che $atX_a$ sia il prodotto scalare dei vettori (uno dei quali moltiplicato per il parametro) e mi risulta $(t,0,-3)$ e la sua derivata $(1,0,0)$. Il primo membro di $X_af=d/dt|_(t=0)(f(atX_a))$ questa relazione non so nemmeno cosa voglia dire.
Grazie per l'aiuto
Si calcoli la derivata della funzione $f(x,y,z)$ in direzione del vettore $X_a=(1,0,-3)$, dove $a = (1,1,0)$ si verifichi che:
$X_af=d/dt|_(t=0)(f(atX_a))$
La seconda parte della consegna non riesco a capire cosa devo fare...
Normalizzo il vettore: $((1,0,-3))/sqrt(10)$
Calcolo la derivata in direzione del vettore $X_a$
$lim_(t -> 0) (f(x+1/sqrt(10)t,y,z-3/sqrt(10)t)-f(x,y,z))/t=$
$lim_(t -> 0) ((x^2+1/sqrt(10)t)y(z-3/sqrt(10)t)-x^2yz)/t=$
$=(-sqrt10x(3x-2z)y)/10$
Poi? Ho pensato che $atX_a$ sia il prodotto scalare dei vettori (uno dei quali moltiplicato per il parametro) e mi risulta $(t,0,-3)$ e la sua derivata $(1,0,0)$. Il primo membro di $X_af=d/dt|_(t=0)(f(atX_a))$ questa relazione non so nemmeno cosa voglia dire.
Grazie per l'aiuto
Risposte
$a$ è il punto dove calcolare la derivata direzionale. Per cui usando la definizione hai
$$\lim_{t\to 0}\frac{f(1+t,1,-3t)-f(1,1,0)}{t}$$
(non è necessario normalizzare).
Quello che ti chiede la seconda parte è verificare che tale derivata direzionale coincide con la derivata rispetto a $t$ calcolata in $t=0$ della funzione (attento che ti sei perso sicuramente un $+$)
$$f(a+tX_a)=f(1+t,1,-3t)$$
dal momento che $a+t X_a=(1,1,0)+t(1,0,-3)=(1+t,1,-3t)$.
$$\lim_{t\to 0}\frac{f(1+t,1,-3t)-f(1,1,0)}{t}$$
(non è necessario normalizzare).
Quello che ti chiede la seconda parte è verificare che tale derivata direzionale coincide con la derivata rispetto a $t$ calcolata in $t=0$ della funzione (attento che ti sei perso sicuramente un $+$)
$$f(a+tX_a)=f(1+t,1,-3t)$$
dal momento che $a+t X_a=(1,1,0)+t(1,0,-3)=(1+t,1,-3t)$.
Ok, non sapevo che il pedice volesse dire "calcolare in", infatti mi chiedevo cosa fosse $a$. Comunque nella scheda da dove ho preso l'esercizio non c'è nessun $+$. Col $+$ torna tutto senza problemi, sarà un errore loro.
Un'altra domanda, ma quindi la notazione $X_af$ sta per derivata di f lungo $X$ in $a$? Di solito non si scrive $f_(X_a)$ ?
Un'altra domanda, ma quindi la notazione $X_af$ sta per derivata di f lungo $X$ in $a$? Di solito non si scrive $f_(X_a)$ ?
Mah, sicuramente c'è un errore, anche perché $a t X_a$ ha poco senso a meno di metterci una qualche operazione (due vettori e uno scalare, e dovrebbe venire qualcosa di vettoriale). In generale se si parla di "campi di vettori" (come in questo caso) con $X$ che, in generale, potrebbe rappresentare un vettore in qualsiasi punto dello spazio, $X_a$ indica il vettore applicato nel punto e $X_a f$ la derivata direzionale. In realtà si potrebbe quasi dire che l'espressione
$$X_a f=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} f(a+tX_a)$$
è una definizione (sono notazioni della geometria differenziale).
$$X_a f=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} f(a+tX_a)$$
è una definizione (sono notazioni della geometria differenziale).
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