Derivata difficilotta.
Innanzi tutto Buon Anno a tutti!!
Non riesco a fare la derivata di questa funzione, c'è qualcosa che mi sfugge:
$f(x) = (x-1)^2/x^2e^((x-1)/x) $
Andiamo con ordine abbiamo al numeratore un prodotto di derivate e la derivata di $ e^((x-1)/x) $.
Per prima cosa faccio la derivata del prodotto (al numeratore) e ho:
$2(x-1)* e^((x-1)/x) + (x-1)^2 * A $
Lo sviluppo di A lo faccio a parte perchè sono sicuro che l'errore si celi qui:
$ A = e^((x-1)/x) * 1/x^2 $ dove $ 1/x^2 $ è la derivata di $ (x-1)/x $
Quindi per i miei calcoli $A = e^((x-1)/x)/x^2 $
Adesso dovrei fare tutti i calcoli, ma onestamente mi sembra troppo difficile. E poi dovrei fare la derivata del quoziente con il risultato.
$2(x-1)* e^((x-1)/x) + (x-1)^2 * e^((x-1)/x)/x^2$
Ci deve essere qualche altro modo che al momento mi sfugge.
[size=50]Forse potrei fare la derivata di $ (x-1)^2/x^2 $ per la derivata di $ e^((x-1)/x)$ ? Posso farlo?[/size] <- No non credo si possa.
Non riesco a fare la derivata di questa funzione, c'è qualcosa che mi sfugge:
$f(x) = (x-1)^2/x^2e^((x-1)/x) $
Andiamo con ordine abbiamo al numeratore un prodotto di derivate e la derivata di $ e^((x-1)/x) $.
Per prima cosa faccio la derivata del prodotto (al numeratore) e ho:
$2(x-1)* e^((x-1)/x) + (x-1)^2 * A $
Lo sviluppo di A lo faccio a parte perchè sono sicuro che l'errore si celi qui:
$ A = e^((x-1)/x) * 1/x^2 $ dove $ 1/x^2 $ è la derivata di $ (x-1)/x $
Quindi per i miei calcoli $A = e^((x-1)/x)/x^2 $
Adesso dovrei fare tutti i calcoli, ma onestamente mi sembra troppo difficile. E poi dovrei fare la derivata del quoziente con il risultato.
$2(x-1)* e^((x-1)/x) + (x-1)^2 * e^((x-1)/x)/x^2$
Ci deve essere qualche altro modo che al momento mi sfugge.
[size=50]Forse potrei fare la derivata di $ (x-1)^2/x^2 $ per la derivata di $ e^((x-1)/x)$ ? Posso farlo?[/size] <- No non credo si possa.
Risposte
A me i tuoi calcoli sembrano tutti giusti... certo che però farsi poi la derivata di quel quoziente è masochistico!! 
In quell'altro modo puoi farlo sicuramente, e mi sa che ti vengono anche dei calcoli più corti, magari provando a derivare $(x-1)^2/x^2$ pensandolo come $((x-1)/x)^2$
In quell'altro modo puoi farlo sicuramente, e mi sa che ti vengono anche dei calcoli più corti, magari provando a derivare $(x-1)^2/x^2$ pensandolo come $((x-1)/x)^2$
Io considererei la tua funzione nel modo seguente:
\[
f(x)=A(x) \cdot B(x)
\]
dove
\[
A(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}
\]
e
\[
B(x)=e^{\frac{x-1}{x}}
\]
La tua derivata sarà
\[
f'(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x)
\]
vedi se così ti riesce più facile.
\[
f(x)=A(x) \cdot B(x)
\]
dove
\[
A(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}
\]
e
\[
B(x)=e^{\frac{x-1}{x}}
\]
La tua derivata sarà
\[
f'(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x)
\]
vedi se così ti riesce più facile.
O anche così ....
Se poni $t=(x-1)/x=1-1/x$, la funzione si può scrivere come $f(t)=t^2*e^t$.
Allora
$(df)/(dt)=2*t*e^t+t^2*e^t=t*e^t*(2+t)$
e
$(dt)/(dx)=1/x^2$
Quindi
$(df)/(dx)=(df)/(dt)*(dt)/(dx)=t*e^t*(2+t)*1/x^2=(x-1)/x*e^((x-1)/x)*(2+1-1/x)*1/x^2=(x-1)*(3*x-1)*e^((x-1)/x)*1/x^4$.
Se poni $t=(x-1)/x=1-1/x$, la funzione si può scrivere come $f(t)=t^2*e^t$.
Allora
$(df)/(dt)=2*t*e^t+t^2*e^t=t*e^t*(2+t)$
e
$(dt)/(dx)=1/x^2$
Quindi
$(df)/(dx)=(df)/(dt)*(dt)/(dx)=t*e^t*(2+t)*1/x^2=(x-1)/x*e^((x-1)/x)*(2+1-1/x)*1/x^2=(x-1)*(3*x-1)*e^((x-1)/x)*1/x^4$.
"chiaraotta":
O anche così ....
Se poni $t=(x-1)/x=1-1/x$, la funzione si può scrivere come $f(t)=t^2*e^t$.
Allora
$(df)/(dt)=2*t*e^t+t^2*e^t=t*e^t*(2+t)$
e
$(dt)/(dx)=1/x^2$
Quindi
$(df)/(dx)=(df)/(dt)*(dt)/(dx)=t*e^t*(2+t)*1/x^2=(x-1)/x*e^((x-1)/x)*(2+1-1/x)*1/x^2=(x-1)*(3*x-1)*e^((x-1)/x)*1/x^4$.
Geniale. Dovrebbe essere proprio così. Terrò a mente questo procedimento per i prossimi esercizi.
Edit: si ok, ma anche facendolo così, per trovare i min e i max ci vuole Einstein.
No, nel prodotto i fattori che si azzerano e che cambiano di segno sono solo $x-1$ e $3x-1$. Gli altri sono $>0$.
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