Derivata di una serie di potenze reali
sapreste darmi qualche idea per dimostrare che la somma di una serie di potenze reali è derivabile all'interno dellintervallo di convergenza? Dovrei usare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata...
Risposte
Calcola la derivata termine a termine della serie di potenze, ottieni ancora una serie di potenze: qual è il raggio di convergenza?
se la mia serie di potenze è: $ sum a(n) (z)^(n) $ la serie derivata che ottengo è: $ sum n a(n) (z)^(n-1) $, posso dire che l'intervallo di convergenza è lo stesso?
Non lo so, prova a dimostrarlo.
il testo dell'esercizio mi suggerisce di utilizzare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata...ma a me non sembra di avere le ipotesi adatte per poterlo applicare.
Ma infatti stai saltando un passaggio. Devi prima calcolare il raggio di convergenza della serie derivata. Su che è facile.
Il raggio di convergenza di una serie è il sup di tutti gli $ w in $ all'insieme di convergenza...non saprei come fare per trovarlo...
Su, un po' di impegno. Un po' di teoria l'hai studiata? C'è un teorema sul raggio di convergenza, il più importante, che ti permette di calcolarlo esplicitamente. Trovalo e applicalo ( 
).
).
Ci sono forse...il raggio di convergenza di una serie di potenze è R= $ 1/(lim_(n -> oo )root(n)(a(n)) ) $ , il raggio di convergenza per la serie delle derivate è quindi $ 1/(lim_(n -> oo )root(n)(n a(n)) ) $ , $ lim_(n -> oo )root(n)(n) = 1 $ , il resto del limite esiste quando esiste il primo limite, perciò la serie delle derivate ha lo stesso raggio di convergenza della serie di potenze, giusto?
Evvai, ce l'hai fatta! Solo stai attento a mettere $a_n$ in valore assoluto e ricordati che quello non è un $"lim"$ ma un $"limsup"$:
$1/R="limsup"_{n\to\infty}\root(n)(|a_n|)$.
$1/R="limsup"_{n\to\infty}\root(n)(|a_n|)$.
grazie per l'aiuto!ma cosa centrava il suggerimento di utilizzare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata?
Quello è l'ultimo passo. Adesso hai mostrato che la serie e la serie delle derivate hanno lo stesso raggio di convergenza, quindi in particolare convergono entrambe nell'interno dell'intervallo di convergenza. Ma chi ti dice che la serie delle derivate converga alla derivata della somma della serie di potenze?
ok, ci sono le ipotesi del teorema ci sono tutte, quindi all'interno dell'intervallo di convergenza la derivata della somma della serie è la somma della serie delle derivate
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