Derivata di una (semplice) funzione composta
Ciao!
Facendo un esercizio sugli integrali per parti, devo calcolare la derivata di $log(x^2+1)$ e... ho scoperto l'esistenza delle derivate di funzioni composte
Mi son letta la teoria, e ho capito che per trovare la derivata di una funzione composta bisogna trovare le derivate delle funzioni che la compongono e moltiplicarle.
Quindi se ho una funzione $h(x)$, prodotto di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$, la derivata di $h(x)$ è $g'(f(x))f'(x)$. Giusto?
Tornando all'esercizio, la funzione $log(x^2+1)$ credo che sia composta da $log(y)$ e $x^2+1$. La derivata di $log(y)$ è $1/(yln(a))$ (derivata fondamentale), e per avere il $g'(f(x))$ della formula che devo applicare, credo che devo sostituire alla $y$ il polinomio $x^2+1$. Quindi $g'(f(x))=1/((x^2+1)ln10)$. Sull'esercizio svolto, il $ln10$ non c'è... il risultato di questo pezzetto di esercizio è $1/(x^2+1)$. Che fine fa $ln10$? Sicuramente è una carenza mia teorica riguardo il logaritmi... ogni tanto scopro qualcosa che non so!
Grazie mille come sempre, spero che il messaggio si capisca!!
Facendo un esercizio sugli integrali per parti, devo calcolare la derivata di $log(x^2+1)$ e... ho scoperto l'esistenza delle derivate di funzioni composte
Mi son letta la teoria, e ho capito che per trovare la derivata di una funzione composta bisogna trovare le derivate delle funzioni che la compongono e moltiplicarle.
Quindi se ho una funzione $h(x)$, prodotto di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$, la derivata di $h(x)$ è $g'(f(x))f'(x)$. Giusto?
Tornando all'esercizio, la funzione $log(x^2+1)$ credo che sia composta da $log(y)$ e $x^2+1$. La derivata di $log(y)$ è $1/(yln(a))$ (derivata fondamentale), e per avere il $g'(f(x))$ della formula che devo applicare, credo che devo sostituire alla $y$ il polinomio $x^2+1$. Quindi $g'(f(x))=1/((x^2+1)ln10)$. Sull'esercizio svolto, il $ln10$ non c'è... il risultato di questo pezzetto di esercizio è $1/(x^2+1)$. Che fine fa $ln10$? Sicuramente è una carenza mia teorica riguardo il logaritmi... ogni tanto scopro qualcosa che non so!
Grazie mille come sempre, spero che il messaggio si capisca!!
Risposte
Si capisce anche se è un po' confuso ...
Prima di tutto il $ln(10)$ non c'è perché la base di quel $log$ non è $10$ bensì $e$ quindi avendo $ln(e)=1$ è come se non ci fosse ... in ambito matematico (universitario) la base di default di un logaritmo è il numero di Nepero a meno di specificazioni diverse quindi quando trovi $log$ devi leggerlo $ln$ (se ti fa più comodo e salvo indicazioni differenti ...)
Poi ... il prodotto di due funzioni non è una funziona composta nel senso che, generalmente, per funzione composta si intende una funzione di funzione (di funzione di funzione ...); per esempio $f(x)=x^2$ e $g(y)=y+1$, se pongo $y=f(x)$ allora avrò la funzione composta $g(f(x))=x^2+1$.
Cordialmente, Alex
Prima di tutto il $ln(10)$ non c'è perché la base di quel $log$ non è $10$ bensì $e$ quindi avendo $ln(e)=1$ è come se non ci fosse ... in ambito matematico (universitario) la base di default di un logaritmo è il numero di Nepero a meno di specificazioni diverse quindi quando trovi $log$ devi leggerlo $ln$ (se ti fa più comodo e salvo indicazioni differenti ...)
Poi ... il prodotto di due funzioni non è una funziona composta nel senso che, generalmente, per funzione composta si intende una funzione di funzione (di funzione di funzione ...); per esempio $f(x)=x^2$ e $g(y)=y+1$, se pongo $y=f(x)$ allora avrò la funzione composta $g(f(x))=x^2+1$.
Cordialmente, Alex
...Quindi se ho una funzione $h(x)$, prodotto di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$...
Non proprio! Se hai $h(x)=g(f(x))$, $h(x)$ è detta più propriamente "ottenuta dalla composizione delle funzioni $f(x)$ e $g(x)$, ma è giusto un dettaglio che volevo sottolinearti
Tornando al tuo problema, non è che semplicemente il libro, per $log$, intende proprio $ln$? In questo caso, avresti al denominatore proprio $ln(e)=1$. In questo secondo caso, varrebbe:
$D(log(x^2+1))=(2x)/(x^2+1)$
Per il resto, tutto quello che hai detto è correttissimo
EDIT: axpgn mi ha preceduto, e non ho aggiunto nulla di nuovo
Grazie Alex, immaginavo che il motivo della "scomparsa" del $log$ fosse che base ed argomento fossero uguali, quindi con risultato $1$, ma... quindi all'università $log$ e $ln$ sono la stessa cosa, entrambi con base $e$?!
Io sapevo che $log$ ha base $10$, mentre $ln$ ha base $e$... è una distinzione che devo lasciar perdere?
Non so la professoressa come intenda la faccenda, non ho mai potuto frequentare le lezioni e non la conosco nemmeno, ho solo i suoi esercizi svolti... ma a questo punto immagino che sia come dite voi
Per il resto, grazie mille, tu e Lele0012 lo avete spiegato molto meglio di me...! in questi giorni faccio molta confusione perchè sto cercando di capire gli integrali per l'esame che dovrei avere il 20 luglio, quindi sto facendo le cose troppo in fretta per capirle bene... credo proprio che andrà a finire che aspetterò settembre!!! 
Grazie mille, come al solito mi aiutate un sacco!!
Io sapevo che $log$ ha base $10$, mentre $ln$ ha base $e$... è una distinzione che devo lasciar perdere?
Non so la professoressa come intenda la faccenda, non ho mai potuto frequentare le lezioni e non la conosco nemmeno, ho solo i suoi esercizi svolti... ma a questo punto immagino che sia come dite voi
Per il resto, grazie mille, tu e Lele0012 lo avete spiegato molto meglio di me...!
in questi giorni faccio molta confusione perchè sto cercando di capire gli integrali per l'esame che dovrei avere il 20 luglio, quindi sto facendo le cose troppo in fretta per capirle bene... credo proprio che andrà a finire che aspetterò settembre!!! Grazie mille, come al solito mi aiutate un sacco!!
taluni usano la notazione $Log$ con la maiuscola per indicare base 10, e $log$ con la minuscola per intendere base naturale, cioè $ln$! Io, ad esempio, intendo $log=ln$, quindi è solo una questione di abitudine In bocca al lupo per il 20!
In bocca al lupo per il 20!
Grazieeeeeee!!! (non ti dico "crepi", perchè faccio Scienze naturali e farò la tesi sul lupo... ahahahha!)
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