Derivata di una produttoria
Salve a tutti,
Qualcuno mi potrebbe aiutare a derivare la seguente produttoria: $ x prod_(n = 1)^(oo)(1+x^2/(n^2pi^2)) $ .
Grazie infinite
Qualcuno mi potrebbe aiutare a derivare la seguente produttoria: $ x prod_(n = 1)^(oo)(1+x^2/(n^2pi^2)) $ .
Grazie infinite
Risposte
Poniamo $g_n(x)=1+x^2/{n^2\pi^2}$ e $G(x)=\prod_{n=1}^\infty g_n(x)$. Se $f(x)=x\cdot G(x)$ è la funzione da derivare, consideriamo la funzione $F(x)=\log|f(x)|$: osserva che la sua derivata è
$$F'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\ \Rightarrow\ f'(x)=f(x)\cdot F'(x)$$
Dobbiamo allora esplicitare $F(x)$: abbiamo
$$F(x)=\log|x|+\log G(x)=\log|x|+\sum_{n=1}^\infty g_n(x)$$
e quindi
$$F'(x)=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{g'_n(x)}{g_n(x)}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2\pi^2+x^2}$$
Infine
$$f'(x)=\left(\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2\pi^2+x^2}\right)\cdot f(x)$$
$$F'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\ \Rightarrow\ f'(x)=f(x)\cdot F'(x)$$
Dobbiamo allora esplicitare $F(x)$: abbiamo
$$F(x)=\log|x|+\log G(x)=\log|x|+\sum_{n=1}^\infty g_n(x)$$
e quindi
$$F'(x)=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{g'_n(x)}{g_n(x)}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2\pi^2+x^2}$$
Infine
$$f'(x)=\left(\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2\pi^2+x^2}\right)\cdot f(x)$$
Grazie
Per caso c'è un modo per far sì che esca: $ prod_(n = 1)^(oo)(1-(4x^2)/((2n-1)^2 pi^2) ) $ al posto di \[ f'(x)=\left(\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2\pi^2+x^2}\right)\cdot f(x) \]
Per caso c'è un modo per far sì che esca: $ prod_(n = 1)^(oo)(1-(4x^2)/((2n-1)^2 pi^2) ) $ al posto di \[ f'(x)=\left(\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2\pi^2+x^2}\right)\cdot f(x) \]
Mmmm.... probabilmente sì, ma così su due piedi non mi viene in mente come fare. Ci penso.
va bene, grazie
ciampax, sempre se non è un disturbo, mi potresti suggerire come trasformare il risultato che hai ottenuto, in quello cercato?
Scusa la domanda, ma non è che la funzione da derivare è questa
$$x\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)$$
tante di quelle volte?
$$x\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)$$
tante di quelle volte?
è questa, che sarebbe la produttoria che esprime sin(x), adesso lo scopo è dimostrare che la sua derivata è cos(x), ovvero la produttoria $ prod_(n = 1)^(oo)(1-(4x^2)/((2n-1)^2 pi^2) ) $ , tu mi hai fatto vedere come ci si arrivava ad esprimere la derivata in \[ f'(x)=\left(\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2\pi^2+x^2}\right)\cdot f(x) \] che dovrebbe essere cos(x) espressa in un modo completamente diverso. La mia domanda è: Attraverso quali passaggi faccio coincidere: \[ f'(x)=\left(\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2\pi^2+x^2}\right)\cdot f(x) \] con $ prod_(n = 1)^(oo)(1-(4x^2)/((2n-1)^2 pi^2) ) $ in modo da dimostrare in modo non classico che la derivata di Sin(x) è cos(x) ?
Ecco, appunto, mi pareva ci fosse qualcosa che non andava. Per cui, in realtà dobbiamo derivare
$$f(x)=x\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)=\sin x$$
(tu avevi messo un $+$) e far vedere che essa è uguale a
$$f'(x)=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{4x^2}{(2n-1)^2\pi^2}\right)=\cos x$$
Rifacendo il procedimento illustrato prima, si trova che
$$f'(x)=\left(\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{-2x}{n^2\pi^2-x^2}\right)\cdot f(x)$$
Per cui è questa la cosa da trasformare.
Sinceramente ci ho pensato un po' ieri sera e non mi sono venute idee. Non escludo che, probabilmente, si un altro il procedimento per il calcolo della derivata, ma al momento non so cosa dirti.
EDIT: la funzione all'inizio, quella con il $+$ è il prodotto infinito che rappresenta $\sinh x$, per cui la sua derivata è $\cosh x$ che ha, come rappresentazione sotto prodotto infinito, quello che hai scritto ma di nuovo con il $+$.
$$f(x)=x\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)=\sin x$$
(tu avevi messo un $+$) e far vedere che essa è uguale a
$$f'(x)=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{4x^2}{(2n-1)^2\pi^2}\right)=\cos x$$
Rifacendo il procedimento illustrato prima, si trova che
$$f'(x)=\left(\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{-2x}{n^2\pi^2-x^2}\right)\cdot f(x)$$
Per cui è questa la cosa da trasformare.
Sinceramente ci ho pensato un po' ieri sera e non mi sono venute idee. Non escludo che, probabilmente, si un altro il procedimento per il calcolo della derivata, ma al momento non so cosa dirti.
EDIT: la funzione all'inizio, quella con il $+$ è il prodotto infinito che rappresenta $\sinh x$, per cui la sua derivata è $\cosh x$ che ha, come rappresentazione sotto prodotto infinito, quello che hai scritto ma di nuovo con il $+$.
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