Derivata di una funzione lungo una curva $\gamma (t)$
in breve, sul mio libro ho trovato questo teorema:
sia f una funzione scalare differenziabile in $x_0$ definita in $ X \subseteq R^n $, e sia $ gamma (t) : [a,b] \to X $ tale che $ \gamma(t_0) = x_0 $ e le sue componenti siano derivabili in $ t_0 $. allora la funzione composta $f(\gamma(t))$ è derivabile in $t_0$ e la sua derivata vale $< \grad f(x_0), \gamma '(t_0) >$
ora non mi torna una cosa: in generale, per calcolare la derivata direzionale (a patto di avere funzioni differenziabili), faccio il prodotto scalare tra il gradiente e il versore lungo la direzione che mi interessa. però nel teorema sopra non è specificato nelle ipotesi che $ || \gamma'(t_0) || = 1$. d'altronde se volessi trovare la derivata di f lungo la direzione di $\gamma$, basterebbe "normalizzare" a norma 1 il vettore $ \gamma' $ e fare il solito prodotto scalare.
dal momento che è un teorema che non abbiamo dimostrato sto cercando di dare un significato fisico alla cosa, ma non ho idee: so che $\gamma'(t)$ è il vettore velocità, ma allora che informazione mi dà $< \grad f(x_0), \gamma '(t_0) >$ ?
grazie per l'aiuto
sia f una funzione scalare differenziabile in $x_0$ definita in $ X \subseteq R^n $, e sia $ gamma (t) : [a,b] \to X $ tale che $ \gamma(t_0) = x_0 $ e le sue componenti siano derivabili in $ t_0 $. allora la funzione composta $f(\gamma(t))$ è derivabile in $t_0$ e la sua derivata vale $< \grad f(x_0), \gamma '(t_0) >$
ora non mi torna una cosa: in generale, per calcolare la derivata direzionale (a patto di avere funzioni differenziabili), faccio il prodotto scalare tra il gradiente e il versore lungo la direzione che mi interessa. però nel teorema sopra non è specificato nelle ipotesi che $ || \gamma'(t_0) || = 1$. d'altronde se volessi trovare la derivata di f lungo la direzione di $\gamma$, basterebbe "normalizzare" a norma 1 il vettore $ \gamma' $ e fare il solito prodotto scalare.
dal momento che è un teorema che non abbiamo dimostrato sto cercando di dare un significato fisico alla cosa, ma non ho idee: so che $\gamma'(t)$ è il vettore velocità, ma allora che informazione mi dà $< \grad f(x_0), \gamma '(t_0) >$ ?
grazie per l'aiuto
Risposte
Si ma infatti la regola del gradiente che ci permette di calcolare la derivata direzionale senza passare per la definizione è un caso particolare della regola di derivazione a catena (cioè quella che hai trovato sul libro).
Cioè si può dimostrare che preso un versore [tex]$\lambda$[/tex], una funzione[tex]$ f:A \to R$[/tex] e un punto [tex]$P_0 \in A \subset R^2$[/tex]:
[tex]$\frac{\delta f}{\delta \lambda} (P_0) = (\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex]
Nota come regola del gradiente.
Se leggi la dimostrazione, capisci da dove arriva!
Cioè si può dimostrare che preso un versore [tex]$\lambda$[/tex], una funzione[tex]$ f:A \to R$[/tex] e un punto [tex]$P_0 \in A \subset R^2$[/tex]:
[tex]$\frac{\delta f}{\delta \lambda} (P_0) = (\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex]
Nota come regola del gradiente.
Se leggi la dimostrazione, capisci da dove arriva!
Non serve che $\lambda$ sia un versore... la formula del gradiente vale per ogni vettore, se $f$ è differenziabile.
vi ringrazio. ma come si dimostra che vale per ogni vettore? sul mio libro non è spiegato, se non è troppo lungo per voi mi piacerebbe capirlo..
La stessa dimostrazione che funziona per il versore...
scusi ma questa situazione mi sembra anomala:
derivata secondo v versore: $ $
derivata secondo un vettore: $ w = 2v = = 2
..dovrei ottenere un'uguaglianza (secondo quanto ha detto prima) o sbaglio?
derivata secondo v versore: $
derivata secondo un vettore: $ w = 2v =
..dovrei ottenere un'uguaglianza (secondo quanto ha detto prima) o sbaglio?
Se $v$ è non nullo si ha $(\partial f)/(\partial v)(x)=\lim_{t \to 0}(f(x+tv)-f(x))/t=|v|\lim_{t \to 0}(f(x+t|v|v/|v|)-f(x))/(|v|t)=|v|\lim_{s \to 0}(f(x+sv/|v|)-f(x))/s=|v|<\nabla f(x),v/|v|> = <\nabla f(x),v>$.
d'accordo, ma forse c'è stato un malinteso (o non capisco io).
io avevo chiesto (intendevo chiedere) il perchè fosse la stessa cosa usare un vettore o un versore, ma visto così mi pare evidente che se uso il versore trovo la derivata direzionale, invece se uso un suo multiplo trovo un multiplo della derivata direzionale nello stesso punto.
allora mi chiedo: perchè la derivata di $f$ lungo $ \gamma$ non si calcola con il versore relativo a $\gamma'$ ? altrimenti mi ritrovo un multiplo della derivata direzionale.. qual è l'ultilità di questa operazione?
io avevo chiesto (intendevo chiedere) il perchè fosse la stessa cosa usare un vettore o un versore, ma visto così mi pare evidente che se uso il versore trovo la derivata direzionale, invece se uso un suo multiplo trovo un multiplo della derivata direzionale nello stesso punto.
allora mi chiedo: perchè la derivata di $f$ lungo $ \gamma$ non si calcola con il versore relativo a $\gamma'$ ? altrimenti mi ritrovo un multiplo della derivata direzionale.. qual è l'ultilità di questa operazione?
Secondo me fai confusione tra la derivazione di una funzione composta e la formula del gradiente.
La derivata di una funzione composta la calcoli in quel modo:
Cioè, senza che mi dilungo inutilmente:
Prendi [tex]F[/tex]: una funzione composta tale che [tex]$\forall t \in I : F(t)=f(\varphi (t))$[/tex]
dove [tex]$f: A \subset R^2 \to R$[/tex]
[tex]$\varphi : I \subset R \to R^2$[/tex] con [tex]\varphi (I) \subseteq A[/tex]
Allora se [tex]$f$[/tex] è differenziabile in un punto [tex]$P_0 \in A[/tex] e [tex]$\varphi[/tex] è derivabile in [tex]$t_0 \in I$[/tex]:
[tex]$F$[/tex] sarà derivabile in [tex]$t_0$[/tex] e [tex]$F'(t_0) = (\nabla f(\varphi(t_0)), \varphi'(t_0))$[/tex].
Quindi se hai bisogno di derivare una funzione composta segui questa regola!
Questa è una cosa.
La formula del gradiente invece, riguarda appunto le derivate direzionali ed è un caso particolare di quello sopracitato perché puoi,sostanzialmente, vedere la derivata direzionale come la derivata di una funzione composta per [tex]$t=0$[/tex]; e si può dimostrare.
ps. Ringrazio Luca, per la precisazione prima
!
La derivata di una funzione composta la calcoli in quel modo:
Cioè, senza che mi dilungo inutilmente:
Prendi [tex]F[/tex]: una funzione composta tale che [tex]$\forall t \in I : F(t)=f(\varphi (t))$[/tex]
dove [tex]$f: A \subset R^2 \to R$[/tex]
[tex]$\varphi : I \subset R \to R^2$[/tex] con [tex]\varphi (I) \subseteq A[/tex]
Allora se [tex]$f$[/tex] è differenziabile in un punto [tex]$P_0 \in A[/tex] e [tex]$\varphi[/tex] è derivabile in [tex]$t_0 \in I$[/tex]:
[tex]$F$[/tex] sarà derivabile in [tex]$t_0$[/tex] e [tex]$F'(t_0) = (\nabla f(\varphi(t_0)), \varphi'(t_0))$[/tex].
Quindi se hai bisogno di derivare una funzione composta segui questa regola!
Questa è una cosa.
La formula del gradiente invece, riguarda appunto le derivate direzionali ed è un caso particolare di quello sopracitato perché puoi,sostanzialmente, vedere la derivata direzionale come la derivata di una funzione composta per [tex]$t=0$[/tex]; e si può dimostrare.
ps. Ringrazio Luca, per la precisazione prima
!
mi si è cancellata una parte del post precedente non so come mai. non so se ho capito, comunque ti spiego il mio punto di vista così da farti capire dove sbaglio (devo essermi fatto qualche idea sbagliata in testa che non riesco a levarmi): per comodità prendiamo una funzione f con dominio in R^2. adesso mi immagino di avere una curva $\gamma $ con sostegno contenuto nel dominio di f, quindi sul piano xy. la funzione composta $ f(\gamma) $ è l'immagine di $\gamma$ tramite f, quindi mi immagino la "restrizione" di f lungo $\gamma$, cioè quella parte di f tale che la sua ombra proiettata sul piano xy è gamma. penso sempre ad una funzione nello spazio R^3, solo ridimensionata ad un certo dominio.. fin qui è corretto?
ora se il mio scopo è trovarmi la derivata di f lungo questa restrizione, che mi sembra proprio $f(\gamma(t))$, devo trovarmi i versori tangenti alla curva (derivando gamma e poi normalizzando) e usare la formula del gradiente. ecco il motivo per cui non vedo una logica nella formula di derivazione della funzione composta, da cui il problema esposto. riesci a dirmi dove sbaglio nel mio immaginario?
edit: ho problemi a visualizzare completamente i post, come posso risolvere?
ora se il mio scopo è trovarmi la derivata di f lungo questa restrizione, che mi sembra proprio $f(\gamma(t))$, devo trovarmi i versori tangenti alla curva (derivando gamma e poi normalizzando) e usare la formula del gradiente. ecco il motivo per cui non vedo una logica nella formula di derivazione della funzione composta, da cui il problema esposto. riesci a dirmi dove sbaglio nel mio immaginario?
edit: ho problemi a visualizzare completamente i post, come posso risolvere?
"enr87":Esatto. Anzi, puoi dimostrare che, detta $D_{v}f(x)$ la derivata direzionale della $f$ in $x$ lungo $v$ (non necessariamente un versore), l'operatore $D$ è lineare in $v$, ovvero
se uso il versore trovo la derivata direzionale, invece se uso un suo multiplo trovo un multiplo della derivata direzionale nello stesso punto.
$D_{lambdav+muw}f(x)=lambdaD_{v}f(x)+muD_{w}f(x)$.
Questo fatto è importante in geometria differenziale, anzi io direi (sbilanciandomi un po') che è alla base della geometria differenziale. Ma l'esperto vero qui è Luca, assolutamente non io, quindi questa affermazione è da prendere con le pinze.
posso chiederti di farmi capire cosa non ho capito..? stanotte non vado a letto altrimenti
"enr87":Probabilmente usi Firefox sotto Windows. Vedi questa discussione, in cui sono stati proposti vari rimedi.
edit: ho problemi a visualizzare completamente i post, come posso risolvere?
Per quanto riguarda la matematica, a me la formula del gradiente pare ragionevole. Infatti, il gradiente di $f$ è un vettore che indica direzione e verso di massimo accrescimento di $f$, e il tasso di questo accrescimento con il proprio modulo. Quando valutiamo la funzione lungo una curva, otteniamo una funzione di una variabile che possiamo derivare. Chiaramente se la curva scorre lungo la direzione di massimo accrescimento, avremo il massimo valore della derivata; viceversa se la curva si mette di traverso alla direzione di massimo accrescimento, "per spostamenti infinitesimi" il valore assunto da questa funzione è costante, e quindi la derivata è nulla. Questo comportamento è tipico del prodotto scalare di due vettori: non c'è quindi da stupirsi della formula del gradiente.
no spetta, la formula del gradiente l'ho capita.. è l'altra il problema (derivata di funzioni composte). in particolare guarda l'ultimo mio post alla prima pagina
edit: per quanto riguarda la visualizzazione, riscontro problemi solo se, mentre la pagina è ancora in caricamento, muovo la rotellina del mouse per scorrere in alto e in basso (uso firefox)
edit: per quanto riguarda la visualizzazione, riscontro problemi solo se, mentre la pagina è ancora in caricamento, muovo la rotellina del mouse per scorrere in alto e in basso (uso firefox)
Ma purtroppo non è che si capisca molto di quel post. Comunque provo lo stesso. Hai una funzione $f:RR^2\toRR$, che ti stai visualizzando come una superificie in $RR^3$ (ma è meglio dire: stai visualizzando il grafico di questa funzione) e vuoi calcolare la derivata di $f(\gamma(t))$ ad un certo istante $t$. Devi cioè incrementare il tempo e dividere per l'incremento, per poi far tendere tutto a zero:
$(f(\gamma(t+Deltat))-f(\gamma(t)))/(Delta t)$.
Ora se decomponi l'incremento della $gamma$ hai la formula $\gamma(t+Deltat)=gamma(t)+\dot{gamma}(t)Delta t+"infinitesimi di ordine superiore"$. Allora $f(gamma(t+Delta t))$ si decomporrà in $f(gamma(t))+nablaf(gamma(t))*dot(gamma)(t)Delta t+"infinitesimi di ordine superiore"$ e passando al limite hai la tesi.
Questo è detto nella maniera più intuitiva (e grossolana) possibile. La dimostrazione vera è la formalizzazione di questa idea, e procede esattamente come nel post di Luca, dove in luogo del vettore $v$ c'è $dot{gamma}(t)$. Del resto, è chiaro: a livello "infinitesimo", derivare lungo la direzione del vettore $v$ o derivare lungo una curva che all'istante $t$ ha $v$ come vettore tangente non può che essere la stessa cosa. Spero di avere centrato il problema.
$(f(\gamma(t+Deltat))-f(\gamma(t)))/(Delta t)$.
Ora se decomponi l'incremento della $gamma$ hai la formula $\gamma(t+Deltat)=gamma(t)+\dot{gamma}(t)Delta t+"infinitesimi di ordine superiore"$. Allora $f(gamma(t+Delta t))$ si decomporrà in $f(gamma(t))+nablaf(gamma(t))*dot(gamma)(t)Delta t+"infinitesimi di ordine superiore"$ e passando al limite hai la tesi.
Questo è detto nella maniera più intuitiva (e grossolana) possibile. La dimostrazione vera è la formalizzazione di questa idea, e procede esattamente come nel post di Luca, dove in luogo del vettore $v$ c'è $dot{gamma}(t)$. Del resto, è chiaro: a livello "infinitesimo", derivare lungo la direzione del vettore $v$ o derivare lungo una curva che all'istante $t$ ha $v$ come vettore tangente non può che essere la stessa cosa. Spero di avere centrato il problema.
hai centrato in parte, nel senso che adesso mi sono fatto un'idea della dimostrazione.
forse il mio è un problema stupido, comunque provo a dirlo in altri termini: io sono abituato a pensare alla derivata come un tasso di crescita di una funzione.
divido le domande:
1) il grafico della funzione composta $f(\gamma)$ è il grafico di f relativo al dominio $\gamma$ o sbaglio?
2) se il grafico è quello, quando faccio la derivata di $f(\gamma)$ in un certo punto, perchè è lecito usare la derivata della curva $gamma$ anche se questa non ha norma 1? non è un controsenso visto che per derivata mi dovrei aspettare la derivata nella direzione della curva (quella che si calcola col gradiente e il versore tangente per intenderci)?
scusa per il tempo che faccio perdere, rispondi pure quando puoi
forse il mio è un problema stupido, comunque provo a dirlo in altri termini: io sono abituato a pensare alla derivata come un tasso di crescita di una funzione.
divido le domande:
1) il grafico della funzione composta $f(\gamma)$ è il grafico di f relativo al dominio $\gamma$ o sbaglio?
2) se il grafico è quello, quando faccio la derivata di $f(\gamma)$ in un certo punto, perchè è lecito usare la derivata della curva $gamma$ anche se questa non ha norma 1? non è un controsenso visto che per derivata mi dovrei aspettare la derivata nella direzione della curva (quella che si calcola col gradiente e il versore tangente per intenderci)?
scusa per il tempo che faccio perdere, rispondi pure quando puoi
Il fatto è che ti sei abituato a pensare che esista una ed una sola derivata. Ma già in dimensione uno non è così. Prendi una funzione $g:RR\toRR$. La puoi derivare così: $lim_{Deltat\to0}\frac{g(t+Deltat)-g(t)}{Deltat}$, cioè percorrendo il tempo in avanti con velocità unitaria. Ma chi ti proibisce di fare, invece, $lim_{Deltat\to0}\frac{g(t-Deltat)-g(t)}{Deltat}$ (percorrere il tempo all'indietro)? Oppure $lim_{Deltat\to0}\frac{g(t+2Deltat)-g(t)}{Deltat}$ (percorrere il tempo con velocità doppia)?
Così in più dimensioni.
Così in più dimensioni.
ecco, questo era il problema.. all'indietro l'avevo fatto (condizione di derivabilità), ma nessuno mi aveva mai detto esplicitamente il resto.
ti ringrazio
ti ringrazio
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