Derivata di una funzione logaritmo e valore assoluto

[*martiki*1]

Ciao a tutti.
Avrei bisogno di un chiarimento sulla derivata di $ y=log_(10)(|f(x)|) $ con l'utilizzo della funzione segno.

La funzione è questa $ f(x)=log_(10)(|(x-3)/(x-2)|) $

Utilizzando la regola della derivazione delle funzioni composte viene :

$ f'(x)= 1/(|(x-3)/(x-2)|) *d/dx(|(x-3)/(x-2)|) *log_(10)(e) $

quindi: $ f'(x)= 1/(|(x-3)/(x-2)|) *sign( (x-3)/(x-2)) *log_(10)(e) * d/dx ( (x-3)/(x-2)) $

ovvero: $ f'(x)= 1/(|(x-3)/(x-2)|) *sign( (x-3)/(x-2)) *log_(10)(e)* 1/((x-2)^2 $

E' giusta fin qui?
Se poi devo calcolare $ f'(1) $ dato che la x che sostituisco è 1 ( quindi soddisfa la condizione che per far sì che la funzione segno non si annulli $x>=1 $) E, inoltre la mia funzione è positiva per $x<2$ allora il mio fattore $sign( (x-3)/(x-2)) =1 $ giusto?

Perchè io sapevo che sign(x) = 0 se x=0 altrimenti sign(x)= 1, ma non so bene come comportarmi con il $sign( f(x))$.

Grazie in anticipo!

[*martiki*1]

Non c'è proprio nessuno che mi può aiutare?

Io avevo provato a pensarla anche come 3 funzioni composte ovvero il logaritmo, il valore assoluto e infine il rapporto tra le x, ma poi non mi ci ritrovo nello sviluppo delle derivate delle funzioni composte. Per spiegarmi:

Ponendo $ q(x) = g(h(f(x))) $ con g, h e f funzioni che rappresentano rispettivamente il logaritmo, il valore assoluto e il rapporto $ (x-3)/(x-2) $ allora la derivata di q(x) rispetto a x dovrebbe essere (in formule):

$ q'(x)= 1/(g'(h(f(x)))) * h'(f(x))*f'(x) $ ovvero numericamente:

$ q'(x)= 1/|(x-3)/(x-2)|* d/dx (|(x-3)/(x-2)|) * d/dx ((x-3)/(x-2)) *log(e)$ ovvero

$ q'(x) = 1/(|(x-3)/(x-2)|) * (|(x-3)/(x-2)|)/((x-3)/(x-2)) * 1/(x-2)^2 *log(e) $

quindi la derivata finale verrebbe diversa da quella precedente in quanto risulta:

$ q'(x)= 1/((x-3)/(x-2)) * 1/(x-2)^2 *log(e) $

Dove sto sbagliando se sto sbagliando? In più rimane quella domanda sul valore della funzione segno

[adaBTTLS1]

mi sono persa in quello che hai scritto.
vorrei farti notare due cose:
1) $sign(x)*|x|=x$, e anche per $f(x)$ al posto di $x$, quindi l'espressione è semplificabile; di fatto nei formulari sulle derivate si trova $D[log|f(x)|]=(f'(x))/(f(x))$;
2) $log_a e =1/(ln a) -> log_10 e =1/(log_e 10)$

[*martiki*1]

Scusate se non sono stata chiara. Volevo solo sapere se la derivata svolta nel primo post (quella con la funzione segno) fosse

giusta e se fosse lecito, nel calcolo $ f'(1) $ porre $ sgn((x-3)/(x-2)) =1 $ poiché con x=1 l'argomento della funzione segno è

positivo. Inoltre volevo sapere se per porre $ sgn((x-3)/(x-2)) =1 $ fosse necessario guardare il segno dell'argomento della

funzione sgn (come ho fatto due righe fa ), oppure si deve solo guardare se la $x$ che vado a sostituire è maggiore di

zero; dato che io ho questa definizione di funzione segno non so bene come comportarmi.

$ sgn (x)= { ( -1, x<1 ),( 0, x=0 ),(1, x>=1 ):} $

Grazie

[adaBTTLS1]

forse non sono stata chiara io.
nel primo messaggio hai chiesto se era corretta questa formula:
$ f'(x)= 1/(|(x-3)/(x-2)|) *sign( (x-3)/(x-2)) *log_(10)(e) * d/dx ( (x-3)/(x-2)) $

allora, errori non ce ne sono, ma perché scrivere il modulo e il segno quando una qualsiasi espressione è esprimibile come prodotto tra il suo modulo e il suo segno, e quindi di fatto non va usato né l'uno né l'altro?
in particolare :
$1/(|(x-3)/(x-2)|) *sign( (x-3)/(x-2))=1/((x-3)/(x-2)) $

e poi ti ho anche suggerito di evitare di lasciare i logaritmi in base diversa da $e$, specialmente quando ti troveresti $e$ come argomento: $log_(10)(e) =1/ln 10$

"*martiki*":Scusate se non sono stata chiara. Volevo solo sapere se la derivata svolta nel primo post (quella con la funzione segno) fosse

giusta e se fosse lecito, nel calcolo $ f'(1) $ porre $ sgn((x-3)/(x-2)) =1 $ poiché con x=1 l'argomento della funzione segno è

positivo. Inoltre volevo sapere se per porre $ sgn((x-3)/(x-2)) =1 $ fosse necessario guardare il segno dell'argomento della

funzione sgn (come ho fatto due righe fa ), oppure si deve solo guardare se la $x$ che vado a sostituire è maggiore di

zero; dato che io ho questa definizione di funzione segno non so bene come comportarmi.

$ sgn (x)= { ( -1, x<1 ),( 0, x=0 ),(1, x>=1 ):} $ NB: i casi sono $x<0; x=0; x>0$, non $1$


Grazie

assolutamente se c'é $sgn(x)$ si guarda $x$, mentre se c'è $sgn(f(x))$ si guarda $f(x)$, perciò se moltiplichi $|f(x)|$ per $sgn(f(x))$ ottieni come risultato semplicemente $f(x)$

[*martiki*1]

Fosse per me la derivata del valore assoluto la farei nel "modo classico" senza tirare in ballo la funzione segno, ma è il nuovo professore che la vuole fatta così. Dato che quando diedi analisi io, il mio professore non ce la spiegò neanche la funzione segno, se non come definizione, mi sono trovata un po' spaesata a distanza di anni .

Comunque grazie per i chiarimenti!

[adaBTTLS1]

prego.
non è sbagliato passare attraverso segno e modulo, ma semmai è un modo per arrivare allo stesso risultato: forse il tuo prof. lo intende come dimostrazione.

[*martiki*1]

Sì il mio prof l'aveva fatto solo come definizione, un altro modo di vedere la derivata del valore assoluto di x insomma. Invece il professore nuovo, negli scritti vuole le derivate del valore assoluto fatte esclusivamente con la funzione segno.