Derivata di una funzione composta

[Alessia_Rapalino]

Sia data la funzione
\(\displaystyle
\begin{equation}
y = tan^{-1}(\frac{z2}{z1})
\end{equation}
\)

con z1 e z2 appartenenti a $R^2$. Devo determinare le derivate della funzione y1 e y2 rispettivamente rispetto a z1 e z2. Vorrei sapere come dovrei procedere al calcolo dal momento che in y è presente un esponente, una tangente ed un rapporto.
Vi ringrazio infinitamente per il vostro aiuto.

Alessia8

[Mephlip]

Hai studiato le derivate parziali? Sostanzialmente devi applicare le usuali regole di derivazione ma considerando rispettivamente $z_2$ e $z_1$ costanti quando derivi prima rispetto a $z_1$ e poi rispetto a $z_2$.

[Alessia_Rapalino]

Più in particolare vorrei sapere se è corretto calcolare y2 come:
\begin{equation}
y_{2} = f'(z2)* g'(z2)
\end{equation}
con
\begin{equation}
f(z2) =\frac{\cos(\frac{z2}{z1})}{\sin(\frac{z2}{z1})} ; g(z2) =\frac{z2}{z1}
\end{equation}
considerando z1 costante. Vorrei sapere se è corretto procedere secondo l'equazione (1).

[Mephlip]

No, non è corretto.
Questo perché $tan^-1 (\gamma) = arctan(\gamma)$, che è ben diverso da $[tan(\gamma)]^-1=\frac{1}{\tan \gamma}=\frac{1}{\frac{\sin \gamma}{\cos \gamma}}=\frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}=\cot(\gamma)$.
Però la formula è giusta dal punto di vista "operativo": devi derivare così come hai scritto $y_2$ considerando $z_1$ costante, hai semplicemente interpretato male la scrittura $tan^-1$.