Derivata di una funzione comporta

[Ster24]

Buonasera, ho un dubbio concettuale sulla derivata di una funzione composta.

La funzione è la seguente:

$f(x) = log(sqrt((x+1)/(x)))$

Allora le mie considerazioni sono le seguenti: essa è una funzione composta del tipo $g(f(h(x)))$ e quindi la sua derivata sarà la seguente: $g'(f(h(x)))*f'(h(x))*h'(x)$.

La mia derivata è la seguente:

$1/(sqrt((x+1)/(x))) * ((-1)/(x^2))/(2(sqrt((x+1)/(x)))) * ((-1)/(x^2))$

Poi ovviamente semplifico ed ottengo: $-1/(2x^3(x+1))$ ma il libro mi dice: $-1/(2x(x+1))$

[axpgn]

Rivedi la derivata della radice ... l'hai derivata come fosse composta ma poi hai derivato un'altra volta il radicando ...

[Quinzio]

Scriviamo bene cosa sono $g$, $f$, $h$, e le derivate.

$ g(k) = log(k)$
$g'(k) = 1/k$

$f(k) = sqrt(k)$
$f'(k) = 1/(2sqrt(k))$

$h(k) = k/(k+1)$
$h'(k) = -1/k^2$

Secondo la regola della catena dobbiamo scrivere

$g'\ f'\ h'$

senza quel mare di parentesi e fuznioni composte che confonde solo le idee.

Ovvero

$1/sqrt((x+1)/(x)) 1/(2sqrt((x+1)/(x))) (-1/x^2)$

E poi si sempliifica.

[Ster24]

Innanzitutto grazie mille per la risposta. Ma $(sqrt(x))' = 1/(2sqrt(x))$ quindi se ad esempio ho $(sqrt(x^2))'=((x)/(sqrt(x)))$ non dovrebbe essere $1/(2sqrt(x^2)).$ Dove sbaglio concettualmente?

[pilloeffe]

Ciao Ster24,

Beh no, si ha:

$(\text{d})/(\text{d}x) (\sqrt(x^2)) = (2x)/(2\sqrt(x^2)) = (x)/(\sqrt(x^2)) $