Derivata di una funzione

[indovina]

Ho una funzione

$y=(cos(x)-1)/x$

$y'= (-xsin(x) - cos(x))/x^2$

Dovrei trovare i punti stazionari, massimi e minimi relativi o assoluti.

Quindi è:

$(xsin(x)+cos(x))<0$ qui dovrei vedere dove $tg(x)>1/x$ come dovrei risolverlo?
$x^2<0$ mai vero

[tommi87]

il numeratore della derivata è $-xsinx-cosx+1$

[indovina]

Una cosa che non ho scritto prima è il dominio
Tutto $R$ - [0] infatti la funzione in quell'intorno non c'è.
E' una funzione periodica.

Bhè hai ragione tommi87.
Come risolvere allora questo?

$xsin(x)+cos(x)-1>0$

[deserto1]

"clever":Una cosa che non ho scritto prima è il dominio
Tutto $R$ - [0] infatti la funzione in quell'intorno non c'è.
E' una funzione periodica.

Come risolvere allora questo?

$xsin(x)+cos(x)-1>0$

Una precisazione: la funzione originaria non è periodica, ma sicuramente è una funzione dispari, inoltre la funzione è definita in un intorno dello $0$, $0$ escluso.
Essendo una funzione dispari, nel seguito mi limiterei a studiarla per $x>0$.
Per quanto riguarda invece lo studio di $-xsin(x)-cos(x)+1=0$ io svilupperei la funzione con le formule trigonometriche:
$sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2)$
$cos(x)-1=-2sin^2(x/2)$
da cui $-xsin(x)-cos(x)+1=-2xsin(x/2)cos(x/2)+2sin^2(x/2)=2sin(x/2)(sin(x/2)-xcos(x/2))$.
Pertanto la derivata prima si annulla sicuramente quando $sin(x/2)=0$, ossia quando $x=2kpi$, $k in ZZ-{0}$
Calcolandoti la derivata seconda della funzione ti accorgerai che questi sono punti di massimo relativo se $ k>0$, sono punti di minimo relativo se invece $k<0$, in entrambi i casi in essi la funzione assume il valore $0$.
Si dovrebbe poi anche calcolare per quali $x$ si verifica $sin(x/2)-xcos(x/2)=0$, ma su questo ho trovato difficoltà.