Derivata di una f composta
Sono dubbi anomali, ma ho bisogno di voi:
La regola è che D(f composta g)(x0)=$f'(y0)g'(x0)$
Sono d'accordo però ho il seguente problema:
$D(e^(alphalnx))$=$e^(alphalnx) * D(alphalnx)$
non capisco perchè il primo membro: $e^(alphalnx)$ non venga derivata in $e^(alpha1/x)$
La regola è che D(f composta g)(x0)=$f'(y0)g'(x0)$
Sono d'accordo però ho il seguente problema:
$D(e^(alphalnx))$=$e^(alphalnx) * D(alphalnx)$
non capisco perchè il primo membro: $e^(alphalnx)$ non venga derivata in $e^(alpha1/x)$
Risposte
Vediamo fino a dove arrivano i miei neuroni:
Allora tu hai in realtà trefunzioni:
1 $a(x) = e^(b(x))$
2 $b(x) = alpha*c(x)$
3 $c(x) = ln(x) = x$
Quindi la regola in questo caso ti dice di derivare la funzione $a(x) = e^(b(x))$ composta e poi la sottofunzione $b(x)$, e di moltiplicarle.
Derivando dovresti avere:
$b(x)*e^(b(x) -1) * D b(x) $
cioè
$alpha*ln(x)*e^( alpha*ln(x) -1 ) * D b(x) $
ma a questo punto anche $b(x)$ è una funzione composta :
1 $h(x) = alpha *k(x)$
2 $k(x) = ln(x) = x$
Quindi per derivare $b(x)$ devi usare di nuovo la regola per funzioni composte che diche che:
$Db(x) = D(h(x)) *D(k(x))$ sapendo che $b(x) = h(k(x))$
cioè (assumendo $alpha$ come costante)
$Db(x) = 1*D(ln()) *D(ln(x)) = 1*1/x *1 = 1/x$
cioè ho derivato prima la funzione $ln$ tenendo conto dei suoi argomenti e poi ho derivato gli argomenti della funzione $ln$ , il quale è uno solo ed è $x$ che derivato è $1$.
Quindi unendo i risultati dovremmo avere:
$Df(x) = alpha*ln(x)*e^( alpha*ln(x)-1 ) * 1/x$ con $f(x) = e^(alphaln(x))$
Sicuramente c'è qualche errore, ma è importante capire il ragionamento anche, nel senso ....... un conto pensare di avere solo 2 funzioni un altro è averne effettivamente 3.
CIAO!
Allora tu hai in realtà trefunzioni:
1 $a(x) = e^(b(x))$
2 $b(x) = alpha*c(x)$
3 $c(x) = ln(x) = x$
Quindi la regola in questo caso ti dice di derivare la funzione $a(x) = e^(b(x))$ composta e poi la sottofunzione $b(x)$, e di moltiplicarle.
Derivando dovresti avere:
$b(x)*e^(b(x) -1) * D b(x) $
cioè
$alpha*ln(x)*e^( alpha*ln(x) -1 ) * D b(x) $
ma a questo punto anche $b(x)$ è una funzione composta :
1 $h(x) = alpha *k(x)$
2 $k(x) = ln(x) = x$
Quindi per derivare $b(x)$ devi usare di nuovo la regola per funzioni composte che diche che:
$Db(x) = D(h(x)) *D(k(x))$ sapendo che $b(x) = h(k(x))$
cioè (assumendo $alpha$ come costante)
$Db(x) = 1*D(ln()) *D(ln(x)) = 1*1/x *1 = 1/x$
cioè ho derivato prima la funzione $ln$ tenendo conto dei suoi argomenti e poi ho derivato gli argomenti della funzione $ln$ , il quale è uno solo ed è $x$ che derivato è $1$.
Quindi unendo i risultati dovremmo avere:
$Df(x) = alpha*ln(x)*e^( alpha*ln(x)-1 ) * 1/x$ con $f(x) = e^(alphaln(x))$
Sicuramente c'è qualche errore, ma è importante capire il ragionamento anche, nel senso ....... un conto pensare di avere solo 2 funzioni un altro è averne effettivamente 3.
CIAO!
La derivata di una funzione composte è il prodotto delle derivate delle funzioni componenti .
Quindi D($e^(alpha*lnx )) $ = $e^(alpha*lnx )$*D$(alpha*lnx) = e^(alpha*lnx ) *alpha/x $ ricordando che la derivata di $e^x = e^x $ e in generale la derivata di $ e ^ f(x) = e^f(x) *f'(x) $.
Ricordando poi che : $ e^lnx = x $ si poteva già all'inizio semplificare la funzione da derivare come : $ e^alpha*x $ con derivata uguale a $ e^alpha $
Quindi D($e^(alpha*lnx )) $ = $e^(alpha*lnx )$*D$(alpha*lnx) = e^(alpha*lnx ) *alpha/x $ ricordando che la derivata di $e^x = e^x $ e in generale la derivata di $ e ^ f(x) = e^f(x) *f'(x) $.
Ricordando poi che : $ e^lnx = x $ si poteva già all'inizio semplificare la funzione da derivare come : $ e^alpha*x $ con derivata uguale a $ e^alpha $
Aggiungo io un esempio di derivata composta , dato che l'esercizio non era particolarmente adatto a capire come funziona la derivata di una funzione composta .
Si voglia derivare la funzione composta : $ f(x) = sin(x^2+3x+e^(x^2+x) ) $.
Ricordiamo che la derivata del seno è il coseno ; la derivata di $ x^2+3x $ è : $ 2x+3 $ e la derivata di $ e ^(x^2+x) $ è : $ e^(x^2+x )*(2x+1) $.
Quindi la derivata cercata è : $ [2x+3+(2x+1)e^(x^2+x)]cos( x^2+3x+e^(x^2+x)) $ .
Capito questo è capito tutto il necessario sulla derivazione di funzioni composte .
Si voglia derivare la funzione composta : $ f(x) = sin(x^2+3x+e^(x^2+x) ) $.
Ricordiamo che la derivata del seno è il coseno ; la derivata di $ x^2+3x $ è : $ 2x+3 $ e la derivata di $ e ^(x^2+x) $ è : $ e^(x^2+x )*(2x+1) $.
Quindi la derivata cercata è : $ [2x+3+(2x+1)e^(x^2+x)]cos( x^2+3x+e^(x^2+x)) $ .
Capito questo è capito tutto il necessario sulla derivazione di funzioni composte .
grazie a tutti, adesso torna.
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