Derivata di una doppia sommatoria
Ciao a tutti,
ho un problema: devo calcolare la derivata di una formula che contiene una doppia sommatoria ed è la prima volta che mi trovo davanti a questo problema.
$$\widehat{G}=\frac{1}{2\widehat{N}\widehat{Y}} \sum_{k \in U}{ \sum_{l \in U}{a_k a_l R_k R_l w_k w_l |y_k - y_l|}}$$.
Avrei necessità di calcolare:
$$\frac{\partial \widehat{G}}{\partial a_l}$$
e
$$\frac{\partial \widehat{G}}{\partial y_l}$$
Se qualcuno riesce ad a darmi una mano ne sarei grato.
Grazie a tutti
ho un problema: devo calcolare la derivata di una formula che contiene una doppia sommatoria ed è la prima volta che mi trovo davanti a questo problema.
$$\widehat{G}=\frac{1}{2\widehat{N}\widehat{Y}} \sum_{k \in U}{ \sum_{l \in U}{a_k a_l R_k R_l w_k w_l |y_k - y_l|}}$$.
Avrei necessità di calcolare:
$$\frac{\partial \widehat{G}}{\partial a_l}$$
e
$$\frac{\partial \widehat{G}}{\partial y_l}$$
Se qualcuno riesce ad a darmi una mano ne sarei grato.
Grazie a tutti
Risposte
Suppongo che la somma consti di un numero finito di termini.
In tal caso per derivare rispeto ad $a_i$ si tratta di derivare soltanto i monomi per cui $k=i$ oppure $l=I$ oppure entrambi. La derivata degli altri addendi è nulla.
La derivata dei termini con $k=i$, è [nota]Ometto la costante davanti per non doverla riscrivere ogni volta[/nota] $a_lR_iR_lw_iw_l|y_i-y_l|$.
Vista la simmetria della funzione, la derivata dei termini con $l=i$ è analoga.
La derivata del termine con $k=l=i$ è invece $2a_iR_iR_lw_iw_l|y_i-y_l|$
Sommando tutti i termini, ottieni:
$$2 \sum_{k \in U} a_k R_iR_kw_iw_k |y_i-y_k|$$
In tal caso per derivare rispeto ad $a_i$ si tratta di derivare soltanto i monomi per cui $k=i$ oppure $l=I$ oppure entrambi. La derivata degli altri addendi è nulla.
La derivata dei termini con $k=i$, è [nota]Ometto la costante davanti per non doverla riscrivere ogni volta[/nota] $a_lR_iR_lw_iw_l|y_i-y_l|$.
Vista la simmetria della funzione, la derivata dei termini con $l=i$ è analoga.
La derivata del termine con $k=l=i$ è invece $2a_iR_iR_lw_iw_l|y_i-y_l|$
Sommando tutti i termini, ottieni:
$$2 \sum_{k \in U} a_k R_iR_kw_iw_k |y_i-y_k|$$
"Antimius":
Suppongo che la somma consti di un numero finito di termini.
In tal caso per derivare rispeto ad $a_i$ si tratta di derivare soltanto i monomi per cui $k=i$ oppure $l=I$ oppure entrambi. La derivata degli altri addendi è nulla.
La derivata dei termini con $k=i$, è [nota]Ometto la costante davanti per non doverla riscrivere ogni volta[/nota] $a_lR_iR_lw_iw_l|y_i-y_l|$.
Vista la simmetria della funzione, la derivata dei termini con $l=i$ è analoga.
La derivata del termine con $k=l=i$ è invece $2a_iR_iR_lw_iw_l|y_i-y_l|$
Sommando tutti i termini, ottieni:
$$2 \sum_{k \in U} a_k R_iR_kw_iw_k |y_i-y_k|$$
Ti ringrazio per l'aiuto.
Se prendessi in considerazione questa formula (che è equivalente a quella sopra) come proseguirei con la derivata sempre rispetto a $a_k$ che $y_k$:
$$X=\frac{2}{NY}\sum_{k \in U}{a_k w_k N_k y_k}- \left( 1+ \frac{1}{NY} \sum_{k \in U}{a_k w_k^2y_k} \right).$$
Devi ragionare come prima. Calcoliamo la derivata parziale rispetto ad $a_i$: i termini nelle sommatorie hanno tutti derivata nulla tranne quando $k=i$ e in tal caso la derivata è $\frac{2}{NY}w_iN_iy_i - \frac{1}{NY}w_i^2y_i$. Analogamente per $y_i$.
"bomberone":
[quote="Antimius"]Suppongo che la somma consti di un numero finito di termini.
In tal caso per derivare rispeto ad $a_i$ si tratta di derivare soltanto i monomi per cui $k=i$ oppure $l=I$ oppure entrambi. La derivata degli altri addendi è nulla.
La derivata dei termini con $k=i$, è [nota]Ometto la costante davanti per non doverla riscrivere ogni volta[/nota] $a_lR_iR_lw_iw_l|y_i-y_l|$.
Vista la simmetria della funzione, la derivata dei termini con $l=i$ è analoga.
La derivata del termine con $k=l=i$ è invece $2a_iR_iR_lw_iw_l|y_i-y_l|$
Sommando tutti i termini, ottieni:
$$2 \sum_{k \in U} a_k R_iR_kw_iw_k |y_i-y_k|$$
Ti ringrazio per l'aiuto.
Se prendessi in considerazione questa formula (che è equivalente a quella sopra) come proseguirei con la derivata sempre rispetto a $a_k$ che $y_k$:
$$X=\frac{2}{NY}\sum_{k \in U}{a_k w_k N_k y_k}- \left( 1+ \frac{1}{NY} \sum_{k \in U}{a_k w_k^2y_k} \right).$$[/quote]
Ribuongiorno a tutti,
avrei l'ultimo dubbio in merito, scusate se non ho ancora ben capito il modo di ragionare.
Sono interessato alla seguente derivata in funzione di $y_j$
$$\sum_{k \in U} { \sum_{l \in U}{a_k a_l d_k d_l |y_k-y_l|}}$$
Non ho proprio idea di come affrontare quel valore assoluto
Scusate ancora vi ringrazio tantissimo
Prova a scrivere esplicitamente una sommatoria simile con pochi addendi, deriva e vedi cosa ne esce; poi generalizza... 
"gugo82":
Prova a scrivere esplicitamente una sommatoria simile con pochi addendi, deriva e vedi cosa ne esce; poi generalizza...
Ma ci ho provato il mio problema è proprio il valore assoluto con i due y con indici all'interno
Proprio per questo ti ho consigliato di scrivere la sommatoria esplicitamente [\i]...
Buongiorno a tutti
avrei un'ultima piccola domanda:
Se la formula seguente da derivare in funzione di $y_j$ è
$$\sum_{k \in U}^{}{\sum_{l \in U}^{}{a_k a_lw_kw_l| \widetilde{y}_k-\widetilde{y}_l|}}$$
con
$$ \widetilde{y}_j=R_jy_j+(1-R)x^{\scriptscriptstyle T}_j {\left(\sum_{j \in U}^{}{ {{a_j \boldsymbol{x_j} \boldsymbol{x^{\scriptscriptstyle T}_j}}} \over {\pi_j}} \right)^{-1} \sum_{j \in U}^{}{{a_j \boldsymbol{x_j} y_j} \over { \pi_j}}}$$
La corretta derivata è:
$$\sum_{l \in U}a_j a_lw_jw_l\text{ sgn}(\widetilde{y}_j-\widetilde{y}_l)\delta_j-\sum_{k \in U}a_k a_jw_kw_j\text{ sgn}(\widetilde{y}_k-\widetilde{y}_j)\delta_j$$
con $\delta_j$ derivata di $\widetilde{y}_j$ in funzione di $y_j$
$$\delta_j=R_j+(1-R_j)\boldsymbol{x}_j^{\scriptscriptstyle T} \left(\sum_{j \in U}^{}{ {{a_j \boldsymbol{x_j} \boldsymbol{x^{\scriptscriptstyle T}_j}}} \over {\pi_k}} \right)^{-1} a_j \boldsymbol{x}_j \pi_j^{-1}$$
???
Spero di aver fatto giusto grazie per l'aiuto
avrei un'ultima piccola domanda:
Se la formula seguente da derivare in funzione di $y_j$ è
$$\sum_{k \in U}^{}{\sum_{l \in U}^{}{a_k a_lw_kw_l| \widetilde{y}_k-\widetilde{y}_l|}}$$
con
$$ \widetilde{y}_j=R_jy_j+(1-R)x^{\scriptscriptstyle T}_j {\left(\sum_{j \in U}^{}{ {{a_j \boldsymbol{x_j} \boldsymbol{x^{\scriptscriptstyle T}_j}}} \over {\pi_j}} \right)^{-1} \sum_{j \in U}^{}{{a_j \boldsymbol{x_j} y_j} \over { \pi_j}}}$$
La corretta derivata è:
$$\sum_{l \in U}a_j a_lw_jw_l\text{ sgn}(\widetilde{y}_j-\widetilde{y}_l)\delta_j-\sum_{k \in U}a_k a_jw_kw_j\text{ sgn}(\widetilde{y}_k-\widetilde{y}_j)\delta_j$$
con $\delta_j$ derivata di $\widetilde{y}_j$ in funzione di $y_j$
$$\delta_j=R_j+(1-R_j)\boldsymbol{x}_j^{\scriptscriptstyle T} \left(\sum_{j \in U}^{}{ {{a_j \boldsymbol{x_j} \boldsymbol{x^{\scriptscriptstyle T}_j}}} \over {\pi_k}} \right)^{-1} a_j \boldsymbol{x}_j \pi_j^{-1}$$
???
Spero di aver fatto giusto grazie per l'aiuto
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