Derivata di una distribuzione. Conferma che ho capito.

[rettile56]

Ciao a tutti. Devo calcolare la derivata della seguente distribuzione $f(x)= e^x * theta(1-x)$, dove $theta$ è $1$ se $x<1$ e $0$ altrimenti.

Dunque inizio osservando che :

$ = - $ dove $phi$ è una funzione di test (liscia, supporto compatto, s'annulla agli infiniti e chissà quante altre proprietà matematiche che ignoro). Dunque essendoi il prodotto scalare con l'integrale si ha:

$ int_{-oo}^oof'(x) phi(x)dx=-int_{-oo}^oof(x)phi'(x)dx=-int_{-oo}^1e^x*phi'(x)dx $

Sviluppo per parti l'ultimo membro e ottengo

$ int_{-oo}^oof'(x) phi(x)dx=-( (e^1*phi(1)-e^{-oo}phi(-oo) ) - int_{-oo}^1 e^x phi(x)) $

Fino a qui dovrei essere abbastanza convinto. Il passaggio dopo invece mi mette un sacco di dubbi.
Da quanto scritto sopra ne deduco che la derivata della distribuzione sopra è:
$f'(x)=-e*delta(1)+e^x$ dove $delta(x)$ è la delta di Dirac.
È corretto? Così facile? Dove ho sbagliato?

Grazie, ciao!

[Emar1]

Rispondere qui sul forum è per me uno stimolo a spiegare a me stesso in primis, quindi perdonami se sarò prolisso.

Qualche appunto:

[*:1m0qp7c6]Le distribuzioni sono funzionali (lineari) su spazi di funzioni, robe che mangiano funzioni del tipo $T(\phi)$. La notazione bracket \(\langle T, \phi \rangle\) non ha nulla a che vedere [nota]Se ci mettiamo su uno spazio di Hilbert come ad esempio $L^2$ allora grazie al teorema di rappresentazione di Riesz le cose sono collegate, ma nel caso generale no[/nota] con il prodotto scalare, è semplicemente un altro modo per scrivere $T(\phi)$[/*:m:1m0qp7c6]
[*:1m0qp7c6]Le distribuzioni non sono tutte del tipo \(T(\phi) = \int_{X} f \phi\) per qualche $f$ "buona"[nota]\(f \in L^1_{loc}\)[/nota]. $\delta$ infatti non è esprimibile in quella forma. Se però partiamo da una funzione $f$ possiamo definire una distribuzione $T_f$ tramite l'integrale. La derivata di una distribuzione è per definizione:
\[\langle T_f', \phi \rangle := - \langle T_f, \phi' \rangle\]
Solo ora possiamo "sfoderare" l'integrale:
\[ - \langle T_f, \phi' \rangle = - \int_X f\phi'\]
[/*:m:1m0qp7c6]
[*:1m0qp7c6]È bene sempre distinguere tra $f$ e $T_f$, una cosa mangia numeri, l'altra funzioni. Poi nella pratica uno identifica $f$ e la distribuzione da lei identificata, ma è bene stare attenti. Ad esempio scrivere una cosa come: \(\langle f', \phi \rangle = \int_X f'\phi\) non è molto corretto: la distribuzione $T_f'$ non è definita come \(\int_X f'\phi\). La $f$ infatti potrebbe non essere nemmeno derivabile, come ad esempio nel tuo caso!
Quindi la scrittura che usi ripetutamente \(\int_{-\infty}^\infty f'\phi\) è scorretta, quella roba è semplicemente $T_f' (\phi)$ o se preferisci \(\langle T_f,\phi\rangle\)[/*:m:1m0qp7c6][/list:u:1m0qp7c6]

Detto ciò veniamo all'esercizio. Hai ragionato in modo corretto ma hai fatto un errore alla fine. Riscrivo tutto in modo più formale alla luce di quanto scritto prima.

Abbiamo $f(x) = e^x \chi_{(-\infty,1]}$ e definiamo:
\[T_f(\phi) = \langle T_f, \phi \rangle = \int_\mathbb{R} e^x \chi_{(-\infty,1]} \phi(x) dx = \int_{-\infty}^1 e^x \phi(x) dx \]

Calcoliamo la derivata distribuzionale di $T_f$:
\[\langle T_f’, \phi \rangle := - \langle T_f, \phi’ \rangle = - \int_{-\infty}^1 e^x \phi’(x) dx\]
Procediamo per parti come hai fatto:
\[\langle T_f’, \phi \rangle = - e \phi(1) + \int_{-\infty}^1 e^x \phi(x) dx = - e \langle \delta_1, \phi \rangle + \langle T_f, \phi \rangle\]

Ricordando la linearità delle distribuzioni otteniamo:
\[\langle T_f’, \phi \rangle = - e \langle \delta_1, \phi \rangle + \langle T_f, \phi \rangle = \langle -e\delta_1 + T_f, \phi \rangle\]
Ovvero:
\[T_f’ = -e\delta_1 + T_f\]

Nel tuo svolgimento hai sbagliato perché il dominio di integrazione non è tutto $RR$ ma solo $(-\infty,1]$

La distinzione tra $f$ e $T_f$ non è solo eleganza o abstract nonsense ma è molto utile per districarsi tra questi conti.

Spero di non essere stato troppo noioso (e soprattutto di non aver sbagliato i conti)