Derivata di una composizione di funzioni

Raptorista1
Salve a tutti,
avrei bisogno di una spiegazione sulla derivazione di una composizione di funzioni.

La questione è molto semplice: nella formula $D[g(f(x)]=f'(x)*g'(f(x))$, qual è il significato di $g'(f(x))$? Non riesco a capire cosa devo passare come argomento alla funzione $g'$;
Inoltre vorrei che mi chiariste un esempio a riguardo: dato $f'(x)=ln(x^2+2)$, dovrebbe essere $f'(x)=2x/(x^2+2)$, ma non ho capito il procedimento per giungere a questo risultato.

Se poteste farmi anche qualche altro esempio di derivata di composizione, ve ne sarei molto grato!
Grazie a tutti delle risposte :)

P.s. Non ho trovato il simbolo di composizione di funzioni, qualcuno sa dirmi come si fa?

Risposte
adaBTTLS1
forse ti può essere d'aiuto l'uso delle variabili: sia $z=h(x)$, $f(x)=y=g(z)=g(h(x))$, $f'(x)=g'(z)*h'(x)$
nel tuo caso hai $z=h(x)=x^2+2 -> h'(x)=2x$, $f(x)=y=g(z)=ln(z) -> g'(z)=1/z$, $f(x)=ln(x^2+2) -> f'(x)=g'(z)*h'(x)=1/z*2x=(2x)/(x^2+2)$

prova a fare la derivata di $f(x)=sqrt(3x+1)$ ...

Raptorista1
Ok quindi quando passo l'argomento alla funzione "esterna" (la g in questo caso) le passo come argomento tutta h come fosse una costante, quindi (sempre in questo caso) applico la regola che la derivata del logaritmo di x è il reciproco di x. Il mio dubbio era proprio a questo punto perché partendo da $Ln (x^2+2)$, arrivando a fare $g(f(x))$ tornavo a $Ln(x^2+2)$.
Grazie della delucidazione.

Per la derivata che mi proponi tu, la considero come $f(x)=g(h(x)); g(x)=sqrt(x); h(x)=3x+1$ dunque diventa $3*1/(2*sqrt(3x+1))=3/(2*sqrt(3x+1))$. Giusto?

adaBTTLS1
sì, giusto, anche se hai chiamato $g(x)=sqrt(x)$ e non hai usato una variabile ausiliaria, ma il risultato è corretto.

Raptorista1
Personalmente non mi piacciono le variabili ausiliarie; inoltre studiando la programmazione in C/C++ ho ottenuto il gran beneficio di riuscire ad astrarre bene le cose, ma solo dopo aver capito appieno i concetti!

adaBTTLS1
sì, meglio così, è solo che nella tua funzione non c'era $g(x)=sqrt(x)$, ma va benissimo se puoi svolgere tutto direttamente.
io ho usato le variabili ausiliarie solo per chiarire un tuo dubbio, e direi che oltre a questa formula non si usano quasi mai...

Raptorista1
E direi che hai fatto bene perché ora mi è molto chiaro :)
Grazie ancora!

Raptorista1
Grazie Sergio!

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