Derivata di un vettore
Salve ragazzi,
qualcuno saprebbe dimostrarmi la seguente affermazione?
Sia $\mathbf{r} : I\subseteq RR\to RR^n$ un arco di curva regolare. Allora
\[\mathbf{r}'(t)=|\mathbf{r}'(t)|\cdot\mathbf{T}(t)\]
dove $\mathbf{T}$ è il versore tangente alla curva.
Ossia il vettore derivato è tangente alla curva in ogni suo punto. Mi interessa perchè sto studiando Fisica, ma sul testo la cosa non viene dimostrata (e nemmeno sul testo di Analisi II).
Grazie
qualcuno saprebbe dimostrarmi la seguente affermazione?
Sia $\mathbf{r} : I\subseteq RR\to RR^n$ un arco di curva regolare. Allora
\[\mathbf{r}'(t)=|\mathbf{r}'(t)|\cdot\mathbf{T}(t)\]
dove $\mathbf{T}$ è il versore tangente alla curva.
Ossia il vettore derivato è tangente alla curva in ogni suo punto. Mi interessa perchè sto studiando Fisica, ma sul testo la cosa non viene dimostrata (e nemmeno sul testo di Analisi II).
Grazie
Risposte
Quella è la definizione di versore tangente... A meno che tu non abbia già definito il versore tangente usando la parametrizzazione in ascissa curvilinea.
Forse non mi sono spiegato bene...i testi, sia quello di fisica che di analisi, una volta introdotta la velocità vettoriale istantanea e l'operazione di derivazione di un vettore rispettivamente, conducono un ragionamento di carattere intuitivo per concludere che il vettore derivato è tangente alla curva in ogni suo punto (nell'ipotesi di regolarità).
Quello che mi chiedo è come si dimostri questo fatto qui (ancora una volta, per pura curiosità
)
Quello che mi chiedo è come si dimostri questo fatto qui (ancora una volta, per pura curiosità
)
Quella è in realtà la definizione di vettore tangente. Il "ragionamento di carattere intuitivo" serve a motivare tale definizione.
Mettiamola cosi allora. Se io volessi provare che
Data $r:RR\to RR^n$ regolare, $r(t)=(x_1(t),\dots,x_n(t))$, il vettore $r'(t)$ è tangente alla curva $\gamma$, parametrizzata da $r(t)$, nel punto $(x_1,\dots,x_n)$
senza conoscere la definizione di versore tangente, come dovrei fare?
Data $r:RR\to RR^n$ regolare, $r(t)=(x_1(t),\dots,x_n(t))$, il vettore $r'(t)$ è tangente alla curva $\gamma$, parametrizzata da $r(t)$, nel punto $(x_1,\dots,x_n)$
senza conoscere la definizione di versore tangente, come dovrei fare?
Non lo puoi fare, non ha senso quanto chiedi. Parafrasando il tuo messaggio, "se io volessi provare che il numero \(2\) è pari, senza sapere la definizione di numero pari, come dovrei fare?"
Quindi, detto terra terra, è tipo il discorso della retta tangente al grafico quando si introduce la derivata per le funzioni di una variabile, giusto? (la derivata è per definizione il coefficiente angolare della retta tangente al grafico etc..)
Certo, anzi quel discorso lì è un caso particolare di questo: se hai una funzione \(f\colon [a, b] \to \mathbb{R}\), definendo \(\gamma(t)=(t, f(t))\) ottieni una curva in \(\mathbb{R}^2\) e il vettore tangente ad essa in \((t_0, f(t_0))\) è \((1, f'(t_0))\). Quindi la retta passante per \((t_0, f(t_0))\) e avente per vettore di direzione \(\gamma'(t_0)\) ha equazioni parametriche
\[\begin{cases} y(s)=f(t_0)+(s-t_0)f'(t_0) \\ t(s)=s \end{cases}\]
ed eliminando la \(s\) riotteniamo l'equazione cartesiana della retta tangente al grafico di \(f\) che conosciamo dai tempi di Analisi 1:
\[y=f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0).\]
Ciò significa che ai tempi non ci hanno imbrogliato e che la definizione vista all'epoca coincide con la definizione più generale che vediamo adesso.
\[\begin{cases} y(s)=f(t_0)+(s-t_0)f'(t_0) \\ t(s)=s \end{cases}\]
ed eliminando la \(s\) riotteniamo l'equazione cartesiana della retta tangente al grafico di \(f\) che conosciamo dai tempi di Analisi 1:
\[y=f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0).\]
Ciò significa che ai tempi non ci hanno imbrogliato e che la definizione vista all'epoca coincide con la definizione più generale che vediamo adesso.
Perfetto ora ci sono...Grazie!
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